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数理方程与特殊函数
任课教师:杨春
数学科学学院
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齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
本次课主要内容
(一)、齐次化原理方法
(二)、固有函数值展开方法
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先讨论如下定解问题求解:
分析:定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振动,于是,可设问题的解为:
(一)、齐次化原理方法
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于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题
其中,V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移,而W(x,t)表示强迫振动引起的弦振动位移。
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对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题:
非负常数
分别是关于t和x的二阶常系数偏微分算子
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令:
与
原定解问题可作如下分解:
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对于(1),可考虑分离变量求解,因此,主要讨论(2)的求解
对于(2),注意到方程是非齐次方程,边界条件是齐次边界条件,初值条件为0初值条件,正好和二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对应,所以,可以考虑用齐次化原理求解。
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齐次化原理1(推广)
齐次化原理回顾
如果
满足方程:
那么非齐次定解问题
的解为:
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齐次化原理2(推广)
如果
满足方程:
那么非齐次定解问题
的解为:
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例1 解定解问题:
解:考虑相应齐次方程的定解问题
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