文档介绍：《通信原理》第六讲
§ 高斯随机过程
高斯过程,也称正态随机过程,是通信领域中最重要的一种过程。在实践中
观察到的大多数噪声都是高斯过程。

一、定义
若随机过程ξ t)( 的任意 n 维(n=1,2,...)分布都是正态分布,则称它为高
斯随机过程或正态过程。其 n 维正态概率密度函数表示如下
fxxnnn(12 , ,..., x; tt 12 , ,..., t )
11− nn xa− xa−
= exp[ B (jj )(kk ) ]
n /2 1/2 2 B ∑∑ jk σσ
(2πσσσ)12 ... n B jk==11 jk
(-1)
2 2
式中 k = kk ξσξ−= kk ,])([)],([ BatEtEa 为归一化协方差矩阵的行列式,即
1 bb12L 1n
bb21 1 L 2n
B =
MMMM
bbnn12L 1
B jk 为行列式 B 中元素b jk 的代数余因子;b jk 为归一化协方差函数,且
E{[ξ(tajjkk )−][ξ( ta )−]
bjk =
σσjk

二、重要性质
a) 高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间
的归一化协方差函数所决定。
b) 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
c) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,那么它们也是统计独立的。
d) 高斯过程经过线性变换(或线性系统)后的过程仍是高斯的。

高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量,其一维概率密度函
数可表示为
1(⎛⎞xa−)2
(-3)
fx()=− exp⎜2 ⎟
2πσ⎝⎠2σ
式中 a 为高斯随机变量的数学期望,σ 2 为方差。xf )( 曲线如图 2-3 表示。

图 2-3 正态分布的概率密度
由式(-3)和图 2-3 可知xf )( 具有如下特性:
(1)xf )( 对称于 x = a 这条直线。
∞
(2) f ()xdx= 1 (-4)
∫−∞
且有
a ∞ 1
fxdx()= fxdx () = (-5)
∫∫−∞ a 2
(3)a 表示分布中心,σ表示集中程度,xf )( 图形将随着σ的减小而变高
和变窄。当 a σ== 1,0 时,称xf )( 为标准正态分布的密度函数。
正态分布函数是概率密度函数的积分,即
2
x 1()⎡ za−⎤
Fx()=≤= P (ξ x ) exp − dz (-6)
∫−∞⎢ 2 ⎥
2πσ⎣ 2σ⎦
这个积分无法用闭合形式计算,我们要设法把这个积分式和可以在数学手册
上查出积分值的特殊函数联系起来,一般常用误差函数和互补误差函数:
所谓误差函数,它的定义式为
2 x 2
erf() x= e−t dt (-7)
π∫0
它是自变量的递增函数, erf = 0)0( , erf ∞= 1)( ,且−= − xerfxerf )()( 。并称
1-erf(x)为互补误差函数,记为 erfc(x),即
2 ∞ 2