文档介绍：《通信原理》第五讲

§ 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程,在通信领域中占有重要
地位。
一、定义
设随机过程{ξ t)( ,t∈ T },若对于任意 n 和任意选定的
以及 h 为任意值,且,有
21 L <<< kn ∈= L nkTtttt ,,,2,1,, 21 L,,, n ∈ Rxxx
fxx(,,, xtt ;,,,) t
nnn12LL 12 (-1)
=+fxxnn(,,,;12LL xt 1 hth , 2+ ,, t n+ h )
则称ξ t)( 是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。具体到它的一维分布,则与时
间 t 无关,而二维分布只与时间间隔τ有关,即有
fxt111(,)= fx 11 () (-2)
和
fxxtt21212(, ;,)= fxx 212 (, ;)τ(-3)
设有一个二阶矩随机过程ξ t)( ,它的均值为常数,自相关函数仅是τ的函
数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。一个严平稳随机过程只要它
的均方值ξ 2 tE )]([ 有界,则它必定是广义平稳随机过程,但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。
二、各态历经性
假设tx )( 是平稳随机过程ξ t)( 的任意一个实现,它的时间均值和时间相关函
数分别为
1 T /2
axt==() lim xtdt ()
∫−T /2
T →∞ T (-6)
1 T /2
R()τ=+=xtxt ()(ττ) limxtxt ()( + ) dt
T →∞ T ∫−T /2
如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立
⎪⎧ aa=
⎨(-7)
⎩⎪ R()τ= R ()τ
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义:随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能
状态。因此,我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数
字特征,从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为
简化。
注意:具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程,但平稳随机过程不
一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态
历经条件。
三、平稳随机过程自相关函数的性质
设ξ t)( 为实平稳随机过程,则它的自相关函数
REtt()τ= [(()(ξξ+ τ)] (-8)
具有下列主要性质:
(1) R(0)==EtS [ξ 2 ( )] [ξ t)( 的平均功率] (-9)
(2) REt()∞= 2 [()]ξ[ξ t)( 的直流功率] (-10)
(3) RR()τ= (−τ) [τ