文档介绍：CH3、控制系统的数学描述与建模
控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位,要对系统进行仿真处理,首先应当知道系统的数学模型,然后才可以对系统进行模拟。同样,如果知道了系统的模型,才可以在此基础上设计一个合适的控制器,使得系统响应达到预期的效果,从而符合工程实际的需要。
工业生产中的实际系统绝大多数是物理系统,系统中的变量都是一些具体的物理量,如电压、电流、压力、温度、速度、位移等等,这些物理量是随时间连续变化的,称之为连续系统;若系统中物理量是随时间断续变化的,如计算机控制、数字控制、采样控制等,则称为离散(或采样)系统。采用计算机仿真来分析和设计控制系统,首要问题是建立合理地描述系统中各物理量变化的动力学方程,并根据仿真需要,抽象为不同表达形式的系统数学模型。
在线性系统理论中,一般常用的数学模型形式有:
传递函数模型(系统的外部模型)、状态方程模型(系统的内部模型)、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系,可以相互进行转换。
按系统性能分:线性系统和非线性系统;连续系统和离散系统;定常系统和时变系统;确定系统和不确定系统。
1、线性连续系统:用线性微分方程式来描述,如果微分方程的系数为常数,则为定常系统;如果系数随时间而变化,则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。
2、线性定常离散系统:离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。
3、非线性系统:系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。
第一节系统的分类
微分方程是控制系统模型的基础,一般来讲,利用机械学、电学、力学等物理规律,便可以得到控制系统的动态方程,这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。
如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程进行求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此对系统进行性能分析。
通过拉氏变换和反变换,可以得到线性定常系统的解析解,这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程,解析解是精确的,然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数,不仅适用于线性定常系统,也适用于非线性及时变系统。
第二节线性定常连续系统的微分方程模型
设线性定常系统输入、输出量是单变量,分别为u(t)、y(t),则两者间的关系总可以描述为线性常系数高阶微分方程形式
(3-1)
式中,
y(j)为y(t)的j阶导数, ,j=0,1,…,n;
u(i)为u(t)的i阶导数, ,i=0,1,…,m;
aj为y(t)及其各阶导数的系数,j=0,1,…,n;
bi为u(t)及其各阶导数的系数,i=0,1,…,m;
n为系统输出变量导数的最高阶次;m为系统输入变量导数的最高阶次,通常总有m n。
对式(3-1)的数学模型,可以用以下模型参数形式表征:
输出系数向量A=[a0,a1,…,an],n十1维
输入系数向量B=[b0,b1,…,bm],m十1维
输出变量导数阶次,n
输入变量导数阶次,m
有了这样一组模型参数,就可以简便地表达出一个连续系统的微分方程形式。
微分方程模型是连续控制系统其它数学模型表达形式的基础,以下所要讨论的模型表达形式都是以此为基础发展而来的。
对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且a0不等于零,这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来,这两个向量分别用num和den表示:num=[b0,b1,…,bm]
den=[a0,a1,…,an]
注意:它们都是按s的降幂进行排列的。
第三节传递函数描述
一、连续系统的传递函数模型
将式(3-1)在零初始条件下,两边同时进行拉氏变换,则有连续系统的传递函数如下:
当a0=1时,分子多项式成为
称为系统的首一特征多项式,是控制系统常用的标准表达形式,于是相应的模型参数中,分母系数向量只用n维分量即可表示出,即
A=[a1,a2,…,an],n维
零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式,其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理,以获得系统的零点和极点的表示形式。
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即:
z=[z1,z2,…,zm]
p=[p1,p2,...,pn]
K=[k]
函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。
二、零极点增益模型
K为系统增益,zi为零点,pj为极点