文档介绍：第3章简单的优化模型
森林救火
森林失火,派多少消防队员去救火?人数多则火灾损失小但救援费用可能大,反之则火灾损失大而救援费用可能小.
问题分析损失费包括森林烧毁的面积,与火灾延续时间有关,从而与消防队员人数有关,人越多灭火越快. 救援费与消防队员人数有关,也与灭火时间有关.
记失火时刻为t = 0,开始救火时刻为t = t1,灭火时刻为t = t2. 设在时刻t森林烧毁的面积为B(t),则森林在火灾中烧毁的面积为B(t2).
不妨设火灾区域为半径为r的圆形区域,且设在无人救火时r与t成正比,又dB/dt与r成正比,故dB/dt与t成正比(0 £ t £ t1). 开始救火后(t > t1),火势得到控制,dB/dt减小,到t = t2时,dB/dt = 0.
救援费分为两部分:一部分为器材的消耗和消防队员的薪金,与人数、时间成正比,另一部分为一次性投入,只与人数有关.
模型假设 1. 损失费与森林烧毁面积B成正比,比例系数为c1(单位面积的损失费).
2. 在时间段(0 £ t £ t1),dB/dt = bt, b > 0. dB/dt在t = t1时达到最大值bt1,记为b.
3. 派出消防队员x名,开始救火以后(t > t1),火势得到控制,dB/dt开始下降,可设dB/dt = b + (b-lx)(t-t1), 其中b < lx. 当t = t2时,dB/dt = 0.
dB/dt
b
b lx-b
O t1 t2
dB/dt ~ t 关系(p67)
4. 每个消防队员单位时间的费用为c2, 另外每个队员还有一次性费用c3,这样救援总费用为[c2(t2-t1) + c3]x.
模型构成 dB/dt ~ t 的关系如图. 森林烧毁的总面积B(t2) = 恰为图中三角形的面积:B(t2) = bt2/2. 而由
t2-t1 = b/(lx-b),
得
B(t2) = bt1/2 + b2/[2(lx-b)].
这样火灾总费用(火灾损失和救援费用)为:
C(x) = .
问题归结为求x使C(x)最小.
令dC/dx = 0 可得 x = .
结果解释由于必须有b-lx < 0,所以 x > b/l. 由上式可见,当c1(单位烧毁面积的损失)增大时,消防队员人数x应增大,而c3(消防队员每人的一次性费用)增大时,x应减小. 这些结果是与常识一致的. 但是c2(每人单位时间的费用
)增大时,也会引起x的增大,这怎么解释呢?有两种解释:其一,涉及c2的费用与时间有关,当此项费用增加时,增加人数可减少灭火时间,从而降低此项费用. 其二,由C = p/y + qy, p, q, y > 0, p, q 为常数,可得当y = (p/q)1/2时C最小,即p增大时,使C取得最小的y也增大. 在C(x)的表达式中令lx-b = y,可得
C(x) =
,
由对C = p/y + qy的讨论知,c2增大相当于使p增大,故使C取得最小的y应增大.
公式中的一些参数如c1~c3, l, b等可由对以往的数据分析得到,预先制成表格备用.
评注上述假设仅符合无风的情况,而且有些参数(如l, b)始终为常数(即与时间无关)是否合理,都可再作进一步的探讨.
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