文档介绍：《线性代数》D复****br/>题型:是非题;填空题;选择题;计算题;简述题;证明题
几个专题
(一)行列式:
(P7,P9);
;
(P11-P13);
(列)展开及其推论(P19-20)
注:各类行列式的计算
(二)方阵可逆的定义及其等价条件:
1.(P48);
2.(或)(P49);
3.(即非奇异)(P49);
(即满秩)(P74);
(P80);
(P80);
7.(为初等矩阵,)(P66);
8.~(即与等价)(P63);
(行)向量组线性无关(P97);
(P129);
11.()正定(P161)
(三)的逆矩阵计算:
;或由解出的第列;
2.(P49);
3.(P66)
(四)有关秩的结论:
1.(P71);
2.(P71);
,则(P71);
,可逆,则(P71);
5.(P70);
6.(P71);
7.(P71,P78);
8.(P101);
,则(P71,P101);
(行)向量组的秩(P91)
(P70),向量组的秩(P96),二次型的秩(P150)
线性变换的秩(P183)的定义
注:矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算,向量组的秩,极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题
(五)向量组线性相关性的结论:
矩阵的秩(P91);
,个维向量必线性相关(P92);
,特别含零向量的向量组线性相关(P93,P90);
4.()线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示(P91);
(P91);
(P90)
注:线性相关性的判定和证明
(六)与线性方程组解有关的结论:
(P80);
特别,若的行数小于,则必有非零解;
(解空间);若,则解空间的维数,设是基础解系,那么的通解为(P108);
(P80);
特别,若的行向量组线性无关,则必有解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关);
,唯一解对应,无限多解对应。在无限多解的情况下的通解为,其中是的基础解系,是的特解(P80,P113);
,则元非齐次线性方程组有个线性无关解(P115/12(2));
,并令,那么是的解
()
注:线性方程组解的讨论和具体计算
(七)方阵正交的定义及其等价条件:
1.(或)(P124);
2.(P124);
(利用与互推);
(行)向量都为单位向量且两两正交(P124);
;
(:可逆由定义得到,正交由2,3得到
:正交由2,3得到)
,成立
(:。
:记,
则,,故,从而。)
(八)对称矩阵为正(负)定的定义及其等价条件:
,成立(P160);
(负)(P161)
(或用正(负)惯性指数);
(负)(P161);
(奇数阶为负,偶数阶为正)(P162);
(负)定(利用与特征值同号);
(正)定(按定义推得)
注:半正(负)定问题
(九)特征值和特征向量的性质及其计算()
(十) 化二次型为标准形()
(配方法,初等变换法,正交变换法)
(十一)几种矩阵关系
,矩阵等价的不变量(秩),矩阵标准形;
,矩阵相似的不变量(特征值),可对角化问题,约当标准形;
,矩阵合同的不变量(有定性)
(十二)线性空间(向量空间)和线性变换(,
第六章)
(向量空间);
,不同基下的坐标变换;
,同一线性变换在不同基下的矩阵的转化
可比较的一些关系
●一般不成立(例如取,,偶数)
●(和都对称时,也对称)
●一般不成立(例如,)
●和均正交推不出正交(列(行)向量长度)
●和均正定可推得正定()
●
●一般不成立,应有
●一般不成立,应有
●和均正交可推得正交()
●和均正定推不出正定(