文档介绍：均值不等式的应用
均值不等式是求函数最值的一个重要工具,同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式
①当且仅当a = b时,“=”号成立;
②当且仅当a = b时,“=”号成立;
③当且仅当a = b = c时,“=”号成立;
④,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注:①注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;
②熟悉一个重要的不等式链:。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数的最小值。
解析:
,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最小值是。
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值:
①②
解析:
①,∴
,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最大值是1。②,则,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。
,当且仅当,即时,不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是。
评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y,求的最小值。
解法一:(单调性法)由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。
证明:
任取且,则
,
∵,∴,
则,即在上是减函数。
故当时,在上有最小值5。
解法二:(配方法)因,则有,易知当时, 且单调递减,则在上也是减函数,即在上是减函数,当时,在上有最小值5。
解法三:(导数法)由得,当时,,则函数
在上是减函数。故当时,在上有最小值5。
解法四:(拆分法),当且仅当时“=”号成立,故此函数最小值是5。
评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足,求的最小值。
解法一:(利用均值不等式)
,当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。
解法二:(消元法)
由得,由则。当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。
解法三:(三角换元法)
令则有
则
,易求得时“=”号成立,故最小值是18。
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法: 。原因就是等号成立的条件不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数满足,试求、的范围。
解法一:
由,则,即解得,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。
又,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是
解法二:
由,知,
则,由,则:
,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。
,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、添、减项(配常数项)
例1 求函数的最小值.
分析:是二项“和”的形式,但其“积”,即其积为定积1,因此可以先添、减项6,即,再用均值不等式.