文档介绍：柯西不等式的证明及应用
(河西学院数学系01(2)班甘肃张掖 734000)
摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词:柯西不等式证明应用
中图分类号: O178
Identification and application of Cauchy inequality
Chen Bo
(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)
Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make paratively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.
Keyword:inequation prove application
柯西(Cauchy)不等式

等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:
证明1:构造二次函数
=

恒成立
即
当且仅当即时等号成立
证明(2)数学归纳法
(1)当时左式= 右式=
显然左式=右式
当时, 右式右式
仅当即即时等号成立
故时不等式成立
(2)假设时,不等式成立
即
当,k为常数, 或时等号成立
设
则

当,k为常数, 或时等号成立
即时不等式成立
综合(1)(2)可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:
证明相关命题
用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
已知点及直线
设点p是直线上的任意一点, 则
(1)
(2)
点两点间的距离就是点到直线的距离,求(2)式有最小值,有
由(1)(2)得:
即
(3)
当且仅当
(3)式取等号即点到直线的距离公式
即
证明不等式
例2 已知正数满足证明
证明:利用柯西不等式

又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得:
故
解三角形的相关问题
例3 设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明
证明:由柯西不等式得,
记为的面积,则
故不等式成立。
求最值
例4已知实数满足, 试求的最值
解:由柯西不等式得,有
即
由条件可得,
解得,当且仅当时等号成立,
代入时,
时
5)利用