文档介绍：测量凸透镜焦距三种方法的误差比较
文/林遂弟
在中学高中教材中,介绍了测量凸透镜焦距的三种测量方法,即平面镜法、公式法、?利用高等数学的微积分知识和函数的泰勒公式,可以对这三种测量方法的误差大小进行比较.
一、误差传递的一般公式
设有函数y=f(x1,x2,……xn),间接测量量y由各直接测量值x1,x2,……,xn所决定,若直接测量量的偶然误差分别为Δx1,Δx1,……,Δxn,它们使y产生的误差为Δy,则有
y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,……,xn+Δxn),
式中Δx1,Δx2,……,Δxn的正负具有偶然性,根据泰勒级数展开式并略去高次项后可得
y+Δy=f(x1,x2,……xn)+(f/x1)Δx1+(f/x2)Δx2+……+(f/xn)Δxn,
由此可得y的绝对误差为
Δy=(f/x1)Δx1+(f/x2)Δx2+……+(f/xn)Δxn. ①
这就是误差传递的一般公式.
二、测量凸透镜焦距的三种方法及误差
(或叫自准法)
在白灯前放一带有箭形缝隙的物屏,被照亮的箭矢作为光源(即“物”),在凸透镜的另一侧放上平面镜,并调整使物屏、凸透镜、平面镜三者共轴,使平面镜反射回来的光线在物屏的箭矢旁边形成一清晰的、与物等大的倒立实象,
Δf=Δx. ②
(也称物距像距法)
将凸透镜放在物屏和像屏之间,调节并使它们共轴,各置物屏、凸透镜于某一位置,适当调节它们之间的距离,移动像屏使像屏出现箭失清晰的倒立的实象,测出物距u和像距v,代入凸透镜公式,有
1/u+1/v=1/f,
即 f=uv/(u+v).
设物距u和像距v的直接测量的误差分别为Δu和Δv,根据①式可得,用这种方法测的凸透镜的焦距f的绝对误差为
Δf=(f/u)Δu+(f/v)Δv
=[v2/(u+v)2]Δu+[u2/(u+v)2]Δv ③
(或称贝赛尔法)
将物屏与像屏位置固定,使它们之间的距离L超过f的四倍,凸透镜置于物屏与像屏之间,并调节使它们共轴,移动凸透镜,则可找到凸透镜在两个位置能使得像屏上出现清晰的像,一次成放大的像,一次成缩小的像,测出这两个位置间距离d和物屏与像屏间的距离L,代入透镜成像公式,有
f=(L2-d2)/4L.
设L和d直接测量的误差分别为ΔL和Δd,根据①式可得,用这种方法测得凸透镜的焦距f的绝对误差为
Δf=(f/L)ΔL+(f/d)Δd
=[(L2+d2)/4L2]ΔL-(d/2L)Δd. ④
三、三种测量方法的误差比较
在相同实验条件下,各直接测量值x,u,v,L、d的误差Δx、Δu、Δv、ΔL、Δd可认为是相同的,因此都把它们记为Δx,则③式表示为
Δf=[(u
2+v2)/(u+v)2]Δx, ⑤
④式可表示为
Δf=[(L-d)2/4L2]Δx, ⑥
因为总有 u>0,v>0,则
Δx/2≤[(u2+v2)/(u+v)2]Δx<Δx,
又因为总有L>d>0,所以
[(L-d)2/4L2]Δx<(1/4)Δx.
由上述讨论可