文档介绍：第六讲微积分的创立
半个世纪的酝酿
牛顿的“流数术”
流数术的初建
流数术的发展
《原理》与微积分
莱布尼茨的微积分
特征三角形
分析微积分的建立
莱布尼茨微积分的发表
其它数学贡献
牛顿和莱布尼茨
2007年9月
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微积分的创立
第六讲微积分的创立
解析几何是代数与几何相结合的产物,它将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,从而为微积分的创立搭起了舞台。
※微积分的思想萌芽,特别是积分学,部分可以追溯到古代。
与积分学相比而言,微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及函数的极大极小值等问题。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段,而这种综合与突破所面临的数学困难,使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点:
瞬时变化率问题;切线问题;函数极大值、极小值问题;面积、体积、曲线长、中心和引力计算。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》,论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。
开普勒方法的要旨是:用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
他认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球面的一部分;他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法。
卡瓦列里原理:
两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比,那么这两个立体的体积之间也有同样的比。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
1639年,卡瓦列里利用平面上的不可分量原理建立了等价于积分
的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的实现原型而向一般算法的过渡。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿 “圆法”
笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”,本质上是一种代数方法。
求曲线过点的切线,笛卡儿的方法是:首先确定曲线在点P处的法线与x轴的交点C的位置,然后作该法线的过点P的垂线,便可得所求的切线。
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿 “圆法”
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微积分的创立
一、半个世纪的酝酿
1637年,费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法。
设函数f(x)在点a处取极值,费马用a+e代替原来的未知量a,并使f(a+e)与f(a)“逼近”,即
消去公共项后,用e除两边,再令e消失,即
由此方程求得的a就是f(x)的极值点。
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微积分的创立