文档介绍：哥德巴赫猜想
作者姓名:弯国强
作者地址:漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学
E-mail:632158@
摘要:■。
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关键词:素数、孙子定理、素数公式、哥德巴赫猜想
中图分类号:
哥德巴赫猜想现代叙述:大致可以分为两个猜想:
■;(欧拉命题)
■。(哥德巴赫命题)
不难看出,哥德巴赫命题仅仅是欧拉命题的一个简单的推论。哥德巴赫命题成立并不能保证欧拉命题的成立。而欧拉命题却可以轻易推出哥德巴赫命题成立。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。证明哥德巴赫猜想成立实质上就是证明欧拉命题的成立。
基本概念
素数,又称质数,只有两个正因数(1和本身)的自然数。除了1和本身外还有别的约数的数称之为合数,而1和0既非素数也非合数。在素数中,只有2为偶数,其余的全为奇数,并且,当素数p>3时,p一定是的形状(k为整数)。
对于正整数n,定义π(n)为不大于n的素数总个数。表示n的算术平方根,表示不超过的最大整数。m为整数,当2≦≦时,表示自然数n的前部质数,m为前部素数的个数,;j为整数,当﹤≦n时,表示自然数n的后部质数,j为后部素数的个数。所以π(n)=m+j。
连续素数:由小到大不间断的素数称作连续素数。例如:2、3、5、7、11……还可以表示为:其中为素数i=1、2、3、……表示素数由小到大的次序。
一个数是否是素数,还没有一般的判别方法,但是对于一个给定的数,我们可以找出所有不超过它的素数,因而也就判定了给定数n本身是不是素数。
定理1:任大于1的整数n,除1外的最小正因数q为素数,并且当n为合数时
。
证明:若q不能是素数,那q除1,q外还有真因数,由知,也是n的异于1的正因数,这与q的最小性矛盾,故q是素数。
当n为合数时,设n=qp, p也是n的异于1的一个正因数,由q的最小性,,这样不等式两边同乘q,可以得到。命题证毕。
定理2:“若自然数n不能被不大于的任何素数整除,则n是一个素数”。见(代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页)。
证明:若n为合数,由定理1, n的最小正因数q为素数,且,这与题设矛盾,故n为素数。命题得证。
根据定理2,可以求出不超过正整数n的一切素数,具体方法是:
首先写出1,2,3,…………n—1,n
划去1,剩下第一个数是2,因为2没有小于自身的真因数,所以2是一个素数。
留下2,从2起,再划去2的倍数,第一个留下来未划去的是3,3没有小于自身的真因数,所以3是素数。
留下3,从3起,再划去3的倍数,第一个留下来未划去的是5,5没有小于自身的真因数,所以5是素数。
这样继续做下去,当我们把所有不大于的素数的倍数都划去后,剩下的数就是所有不超过n的素数。这个方法就是古老的筛法,也叫埃拉托塞尼筛法。
定理3:当时,不超过n的后部素数的个数至少有一个。
证明:①用反证法。假设没有一个后部素数.
设是不超过所有素数,那么在根据假设没有素数,故不超过所有素数也是。依次类推可以得到当时,不超过所有素数也是。当也就是说是不超过1的素数。这与不超过1的数没有素数矛盾。故假设错误。当时,不超过n的后部素数的个数至少有一个。也即是在内至少有一个素数。
证明:②用反证法。假设没有一个后部素数.
设是不超过所有素数,那么在内,根据假设没有素数。同理,在内没有素数,……在内没有素数。当时,
这就是说自然数指向无穷大时,素数只有有限个。这与素数有无穷多个矛盾,故假设错误。
当时,不超过n的后部素数的个数至少有一个。也即是在内至少有一个素数。
素数的生成公式
我们知道,素数有无穷多个,为了更好地研究素数,在历史上曾有一个时期,人们企图找一个能表示素数的表达式:即找一个函数f(x),当取整数值时:都是素数(但不一定包括所有的素数)。
费马研究了形如的数(称为费马数)。1640年费马得到:都是素数,于是费马猜想,所有都是素数。但是1732年欧拉发现是合数,1880年林都利证明了也是合数,这说明不是生成素数的公式。
默森尼研究了形如的数(称为默森尼数)。1644年,默森尼得到,当p取:2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时,为素数,但是后来发现,不是素数,这说明也不是素数的生成公式。
虽然至今无理想的的结果,但是人们在研究的过程中得到了许多好的结果,促进了数学的发展,也在现代科技领域中得到应用。
已经证明,素数的整系数多项式表达式是不存在的,因为有定理:
定理4:任何一个次数大于0的整系数多