文档介绍：当与相切时,有①
当与相切时,有②
将①②两式的两边分别相加,得,
即③
移项再两边分别平方得:
④
两边再平方得:,
整理得,
所以,动圆圆心的轨迹方程是,轨迹是椭圆。
(法二)由解法一可得方程,
由以上方程知,动圆圆心到点和的距离和是常数,所以点的轨迹是焦点为、,长轴长等于的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,
∴,,∴,,
∴,
∴圆心轨迹方程为。
(2)如图,设点坐标各为,∴在已知双曲线方程中,∴
∴已知双曲线两焦点为,
∵存在,∴
由三角形重心坐标公式有,即。
∵,∴。
已知点在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有
即所求重心的轨迹方程为:.
点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。
例6(2009广东卷理)已知曲线与直线交于两点和,(含边界),且点与点和点均不重合.
(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;
(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.
解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
xA
xB
D
(2)曲线,
即圆:,其圆心坐标为,半径
由图可知,当时,曲线与点有公共点;
当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.
直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之重,在高考中多以高档题、、弦中点、对称、参量的取值范围、,解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生
“档次”,有利于选拔的功能.
例7.(2009全国卷Ⅱ 9.) 已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则
A. B. C. D.
【解析一】设抛物线的准线为直线恒过定点P .如图过分别作于,于, 由,则,,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D
【解析二】设,
,,得。
根据焦半径公式,,,得。
求得,将其代入中得,故选D。
例8(2009天津卷理)以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且.
求椭圆的离心率;
求直线AB的斜率;
设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求
的值