文档介绍：函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
湖南祁阳四中何双桥整理
一、函数的单调性
一般地,设函数的定义域为:
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数,区间我们称为函数的单调增区间;
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数,区间我们称为函数的单调减区间。
设为定义在上的函数,若对任何,当时,总有
(ⅰ) ,则称为上的增函数,特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递增函数。
(ⅱ) ,则称为上的减函数,特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递减函数。
★若为区间上的单调递增函数,、为区间内两任意值,那么有:
或
★若为区间上的单调递减函数,、为区间内两任意值,那么有:
或
(证明)
(1)作差法(定义法)
(2)作商法
对于函数和,如果函数在区间上具有单调性,当
时,且函数在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性。
对于两个单调函数和,若它们的定义域分别为和,且:
(1)当和具有相同的增减性时,函数、的增减性与(或)相同,、的增减性不能确定;
(2)当和具有相异的增减性时,我们假设为增函数,为减函数,那么:
①、的增减性不能确定;
②、为增函数,为减函数。
奇函数在定义域内严格单调,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的奇偶性
1. 奇偶性的定义
如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,则称函数为偶函数;如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,则称函数为奇函数。
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称。
(证明)
(1)比较与的关系;
(2)()与的关系;
(2) 与的关系
对于两个具有奇偶性的函数和,若它们的定义域分别为和,且:
(1)当和具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么:
①函数、也为奇函数;
②、为偶函数;
(2)当和具有相异的奇偶性时,那么:
①、的奇偶性不能确定;
②、、为奇函数。
二、函数的对称性
(1)关于轴对称的函数(偶函数)的充要条件是
(2)关于原点对称的函数(奇函数)的充要条件是
(3)关于直线对称的函数的充要条件是
(1)与关于轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
(2)与关于轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
(3)与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
(4)与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
(5)关于点对称。
换种说法:与若满足,即它