文档介绍：线性分组码
电信学院汪汉新
本章节教学内容、基本要求、重点与难点
1. 教学内容:
线性分组码的概念。
一致监督方程、一致监督矩阵和线性分组码的生成矩阵。
线性分组码的最小距离、检错和纠错能力。
线性分组码的编码方法与译码。
线性分组码的性能分析。
汉明码。
2. 教学基本要求:
掌握线性分组码的编码方法和译码方法。
了解一致监督方程和一致监督矩阵的求法。
理解最小距离与检错和纠错能力的关系。
了解汉明码的特点。
3. 重点与难点:
监督矩阵和生成矩阵。
线性分组码的最小距离、检错和纠错能力。
译码的性能。
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为什么要引入线性码
发现或构造好码是信道编码研究的主要问题。
编码方案太多,以至全局搜索是不可能的。
现实的做法是对编码方案加以一定的约束,在一个子集中寻找局部最优。
这种约束即要能包含尽可能好的码,又要便于分析,便于译码。
目前对线性系统的研究远远比非线性系统要充分。
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引入线性码的好处
可以简化分析:将距离谱变成重量谱。
简化译码:
随机分组码译码需要2k次长为n的距离计算及比较。
线性分组码译码只需要n-k次长为n的矢量内积和一张大小为2n-k宽度为n的表。
说明约束起了作用,但还不够,需要进一步引入其它约束
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线性分组码的编码过程分为两步:
把信息序列按一定长度分成若干信息码组,每组由 k 位组成;
编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定),把信息码组变换成 n 重(n>k) 码字,其中(n-k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。
信息码组长 k 位,有 2k 个不同的信息码组,则应该有 2k 个码字与它们一一对应。
概念
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线性分组码:通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n位的码字(n>k)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合,称为线性分组码。
码矢:一个 n 重的码字可以用矢量来表示
C=(Cn--1,…,C1,C0 )
所以码字又称为码矢。
(n,k) 线性码:信息位长为 k,码长为 n 的线性码。
编码效率/编码速率/码率/传信率:R=k /n。它说明了信道的利用效率,R是衡量编码性能的一个重要参数。
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一致监督方程:
编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元,以构成码字。
在 k 个信息码元之后附加 r(r=n-k) 个监督码元,使每个监督元是其中某些信息元的模2和。
例k=3, r=4构成(7,3) 线性分组码。设码字为
(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)
C6,C5,C4为信息元,C3,C2,C1,C0为监督元,每个码元取“0”或“1”
监督元可按下面方程组计算
一致监督方程和一致监督矩阵
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一致监督方程/一致校验方程:确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定,又称为一致监督方程/一致校验方程。
由于一致监督方程是线性的,即监督元和信息元之间是线性运算关系,所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。
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信息码组(101),即C6=1, C5=0, C4=1
由线性方程组得: C3=0, C2=0, C1=1, C0=1
即信息码组(101) 编出的码字为(1010011)。其它7个码字如表。
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一致监督矩阵:
将监督方程写成矩阵形式,得:
H CT=0T或
C HT=0
CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。
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