文档介绍：第三章
线性分组码
将k维k重信息空间的元素线性映射到n维n重矢量空间(接收矢量/收码) 的k维n重子空间(码空间)
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线性码编码
m2
m1
m0
C5
C4
C3
C0
C1
C2
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生成矩阵G
[m2 m1 m0]
100111
010110
001011
=[c5 c4 c3 c2 c1 c0 ]
m G = C
100111
010110
001011
张成码空间的三个基,
本身也是码字。
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信息空间到
码空间的线性映射
信息组(m2 m1 m0 ) 码字(c5 c4 c3 c2 c1c0 )
000 000000
001 001011
010 010110
011 011101
100 100111
101 101100
110 110001
111 111010
k维k重 k维n重
信息空间元素码字空间元素
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gk-1
G = = ⋮ g1
g0
c = m G = [mk-1,……m1 m0] [gk-1 …g1 g0] T
= mk-1 gk-1 +…+ m1 g1 + m0 g0 (3-4)
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可见,生成矩阵G 是由k个行矢量组成的,其中的每个行矢量g i既是一个基底,也是一个码字。任何码字都是生成矩阵G的k个行矢量的线性组合。只要这k个行矢量线性无关,就可以作为k个基底张成一个k维n重空间,它是n维n重空间的一个子空间,子空间的所有2k个矢量构成码集C。
不同的生成矩阵产生不同的码,生成矩阵的特点决定了码的特点。另一方面,由于构成同一空间的基底不是唯一的,所以不同的的基底或生成矩阵有可能生成同一码集。尽管码集选择对码的性能起决定性作用,但并不是说码集相同编码也相同,因为编码涉及码集和映射两个因素,码集一样而映射方法不同不能说是同样的编码。
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由于基底不是唯一的,因此允许将基底线性组合后挑出其中k个线性无关的矢量作为新的基底,依然可以张成同一个码空间。
对应到生成矩阵,等效于允许通过行运算(行交换、行的线性组合)改变生成矩阵的行而不改变码集,只要保证矩阵的秩仍是k(k行线性无关)。据此,任何生成矩阵可通过行运算转化成如下的“系统形式”
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系统码
把信息组原封不动搬到码字前k位的(n,k)码
其码字具有如下形式
c = (cn-1,…cn-k , cn-k-1 ,…,c0)
= ( mk-1 ,…m1, m0 , cn-k-1 ,…c0 )
其生成矩阵具有如下形式
G = [Ik P ] =
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校验矩阵
基底数k的码空间是n维n重空间的子空间,若能找出全部n个基底的另外n-k个基底,也就找到了对偶空间D。将D空间的n-k个基底排列起来可构成一个(n-k)×n矩阵,称为是码空间C的校验矩阵H,它与所有码字正交。
既然用k个基底能产生一个(n,k)线性码,那么也能用其余n-k个基底产生一个(n,n-k)线性码,我们称(n,n-k)线性码是(n,k)线性码的对偶码。C和D的对偶是相互的,G是C的生成矩阵又是D的校验矩阵,而H是D的生成矩阵又是C的校验矩阵。
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n维n重空间R
k维k重 k维n重 n-k维n重
信息组码空间C 对偶空间D
空间m
G H
图3-1 码空间与映射
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