文档介绍：Key words Vandermonde matrices; Hankel-Bezout matrices ; Toeplitz-Bezout matrices; diagonalization.
目录
摘要…………………………………………………………………i ABSTRACT………………………………………………………..ii 第一章绪论………………………………………………………..1 第二章范德蒙矩阵………………………………………………..3
第三章矩阵的对角化……………………………………………. 5
§ 基本概念………………………………………………….6
§ 友矩阵的对角化………………………………………….7
§ 循环矩阵的对角化……………………………………...10
§ Hankel-Bezout 矩阵的对角化……………………… 13
§ Toeplitz-Bezout 矩阵的对角化…………………… 16
参考文献…………………………………………………………..28 致谢………………………………………………………………..31
第一章绪论
第一章绪论
Bezout矩阵的概念最早出现于 18世纪, 由在淘汰理论中 Euler的成果演化而来, 流行于 19世纪中叶. 自引入 Bezout矩阵概念以来, 它在多项式的互素、多项式的零点在复平面内的分布、系统和控制理论中都有极其重要的应用. 尤其在系统和控制理论中, Bezout矩阵在稳定性理论、实现理论和输出反馈问题中也起着重要的作用. 1852年, Hermite应用二次型的符号差给出了多项式关于实轴惯性的求值公式. 1926 年, 应用 Bezout矩阵重新改写了 , 给出了稳定性分析的系统方法, 并利用 Bezout矩阵给出了 Routh-Hurwitz问题和 Schur-Cohn问题的结果. 特
别是当 g(x) 为实多项式时,利用 Bezout矩阵可以得到经典的 Lienard-Chipart
准则的一种修正形式(见[6][24]). 在 , [14][23]中给出了更详细的讨论.
19 世纪 80 年代以来,数学工作者已经从不同角度对一些特殊矩阵如循环矩阵、Hankel 矩阵、Toeplitz 矩阵、友矩阵以及它们的各种推广矩阵做了大量的研究,例如求它们行列式的值、位移结构、逆矩阵、数值解等;同时,也在努力地寻求它们在各种领域内的使用价值. 实际上,矩阵的应用是很广泛的,不仅在数学领域,在物理、科技、金融、保险领域都发挥了举足轻重的作用. 正是因为矩阵具有普遍的、广泛的应用,对于矩阵的研究才具有十分重要的实际意义.
矩阵理论中有许多结构特殊、性质优美且应用广泛的特殊矩阵. 例如, Vandermonde 矩阵、友矩阵、Hankel-Bezout 矩阵、Toeplitz-Bezout 矩阵等等. Vandermonde 矩阵是矩阵理论中的一个重要类型, 更具有广泛的应用( 见[1][2][10][11]). 1972 年给出了 Bezout 矩阵的一个经典结果, 即 Bezout 矩阵的 t 的乘法分解形式( 见[23] ) , 详细的内容可以参 Lancaster 和 sky 以及 Helmke 和 Fuhrman 的著作(见[14][24]).
安徽大学硕士学位论文:范德蒙矩阵在矩阵对角化中的应用研究
Bezout 矩阵是一类由两个任意多项式定义的特殊方阵,它作为一种研究多项
式的根、稳定性理论的基础工具早在 19 世纪中叶已开始盛行,见[3]等. 在数值计算、信息系统论和控制论中 Bezout 矩阵都有着广泛的应用,如见[4][5]等. 另外,Bezout 矩阵还和一些经典的矩阵, 如 Hankel 矩阵、Toeplitz 矩阵、 Loewner 矩阵、Pick 矩阵和 Vandermonde 矩阵等有着密切的联系. 早在 1984 年, 便给出了 Bezout 矩阵与 Hankel 矩阵、 Loewner 矩阵之间的
相互关系(见[19][25][26]).
正是这些造型独特、形式简洁、应用广泛的矩阵激发了我的兴趣. 本文首先介绍了 Vandermonde 矩阵和广义 Vandermonde 矩阵的基本概念,并
且给出了 Vandermonde 矩阵对应行列式的值,另外还讨论了 Vandermonde 矩阵与插值问题之间的联系即 Vandermonde 矩阵在多项式插值问题中可看作其系数矩阵,接着又研究了 Vandermonde 矩阵的分解形式.
其次,又依次