文档介绍：不等式中的方程思想
姜堰市第二中学黄宝圣
不等式问题的解决,很容易与函数思想联系起来,其实方程思想也有助于不等式问题的解决。
一、方程思想在解不等式中的应用
1、解不等式 x2-2x-3≥0
解:方程x2-2x-3=0有两根x1=3, x2= -1,考虑函数y=x2-2x-3的图象,易得不等式的解集为{x| x≥3或x≤-1}
反思:不等式解的端点应为对应方程的根或其定义域的端点。我们运用此一思想,研究下列问题。
2、已知满足不等式|x2-4x+a| + |x-3|≤5的x的最大值为3,求a,并解该不等式。
分析:此题用常规方法解十分繁琐,考虑到该不等式的定义域为R,又3为满足不等式的最大值,即3 为不等式解的端点,易得3必为方程|x2-4x+a| + |x-3|=5的根。
|32 - 4·3+a| + |3-3|=5 ∴ a=-2或8。
又当x=8时| 82-4·8-2| + |8-3|>5 ∴ a= -2舍去
∴ a=8,以下过程请同学们自己完成。
二、方程思想在确定符号中的应用
3、求f(x)= (x>0)的单调区间
分析:此题易想到用函数单调性定义处理,设x1<x2, x1、x2∈(0, +∞)
则f(x1)-f(x2)= ,此时的难点就是找出一个或几个区间,使在该区间内1-x1x2>0 恒成立或1-x1x2<0恒成立,但不少同学无法完成此一过程,现在我们运用方程思想,研究这一问题。
考虑到:若x1,x2∈(0, a) 时 1- x1x2>0恒成立,(恒小于0是不可能的)。且x1,x2∈(a, +∞)时,1- x1x2<0恒成立,则当x1, x2无限趋向于a时,1- x1x2=0必成立。
∴令x1=x2=a>0,则1-a2=0 ,a=1,此时有x1,x2∈(0, 1)时,1-x1x2>0恒成立;x1,x2∈(1, +∞)时1-x1x2<0恒成立,易得增区间为(0, 1),减区间为(1, +∞)。
反思:一个代数式恒大于0或恒小于0的分界点即为该代数式所对应方程的解,此一思想经常运用于分类讨论之中,如零点法去绝对值号。
三、方程思想在解一些与不等式有关的综合题中的应用
4、f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z 若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求C的值。
分析:此题如果用常规思维仅仅抓住4x≤f(x)和f(x)≤2(x2+1)恒成立,往往很难求得答案。如果我们注意到方程 4x=2(x2+1)的解为x=1,则有4≤f(1)≤4 ∴ a+b+c=4
从而b-4= -a-c,又由4x≤f(x)得 ax2+(b-4)x+c≥0,因a>0,故△=(b-4)2-4ac≤0
即(a-c)2≤0;从而a=c,又b