文档介绍：数字通信原理
(9-2)
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第十一章差错控制编码
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循环码
(1)定义对线性分组码C,如对任意 Ci C, Ci 循环左移或循
环右移任意位后得到的码组Ci’仍然有Ci’ C ,则称C为循
环码。
(2)码多项式
为用代数理论研究循环码,可将码组用多项式表示,该多项
式称为码多项式。
一般地,-1Cn-2…C1C0,对应码多项式T(x)
式中,xi系数对应码字中Ci的取值。
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循环码
(2)码多项式(续前)
例: (7,3)码字:1001110 对应 x6+x3+x2+x
对二进制码组,T(x)的系数只在二元域上取值,二元域上加乘
运算规则如下:
加运算:
乘运算:
减法和除法可由加法和乘法定义。
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循环码
(3)同余类的概念
在整数除法中,取定除数n,可将所有整数按除以n所得余数进行
分类,余数相同的数称为关于n的同余类。
一般地,若
(Q为整数,p < n)(模 n)
则记为:
所有余数为p的整数属于关于n的一个同余类。
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循环码
(3)同余类的概念(续前)
类似地,可以定义关于多项式N(x)的同余类,若
式中Q(x)为整式,余式R(x)的幂< N(x)的幂。
上式可写成:
记为:
例:在系数为二元域的多项式中,有
因为:
从而有上述结论。
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(3)同余类的概念(续前) 循环码
定理1 若T(x)是长度为n的循环码中的一个码多项式,则xiT(x)按模
xn+1运算的余式必为循环码中的另一码多项式。
证明:设i=1,有
余式为。-1Cn-2…C1C0左
循环一位之后的得到的码组:
Cn-2…-1。
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(3)同余类的概念(续前) 循环码
(接定理1证明),若i=2
显然,-1Cn-2…C1C0左循环两位之后的得到的码组。
一般地,对任意i有:
-1Cn-2…C1C0左循环i位之后的得到的码组。证毕
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循环码
(3)循环码的生成多项式g(x)及生成矩阵
一般地,线性分组可表示为
矩阵G中每一行均为一许用码组,如第i行对应第i个信息位为1,
其余为0时生成的码组。
由于G中包含一个Ik分块,所以G为k个独立的码组组成的矩阵。
即:任一线性分组码码组均可由k个线性无关的码组组合而成。
利用上述线性分组码的性质,设g(x)为幂次数为n-k,且
常数项不为0的多项式,则由
g(x),xg(x),……,xk-2g(x),xk-1g(x)
可构成循环码生成矩阵G(x)。
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(3)循环码的生成多项式g(x)及生成矩阵 循环码
循环码生成矩阵G(x)
其中,g(x)称为循环码码生成多项式。
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