文档介绍：第5章连续系统的复频域分析
单边拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换
线性系统的拉氏变换分析法
连续时间系统函数与系统特性
单边拉普拉斯变换
在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。
(5 ―2)
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当t→∞或t→-∞时,f(t)不收敛,即
(5―2)
它是σ+jω的函数,可以写成
F(σ+jω)的傅里叶反变换为
将上式两边乘以eσt得到
(5―3)
(5―4)
(5―5)
(5―6)
可见式(5―4)和式(5―6)构成一对积分变换。为了使表述更为简洁,令s=σ+jω为复频率,从而ds=jdω,当ω=±∞时,s=σ±j∞,于是式(5―4)可改写为
式(5―6)可改写为
(5―7)
(5―8)
(5―9)
由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t<0时,f(t)=0以及信号虽然不起始于t=0而问题的讨论只需考虑t≥0的部分,在这种情况下,式(5―7)可以改写为
(5―10)
拉氏变换的收敛域
可以证明,当信号是指数阶函数时,其拉氏变换存在。所谓指数阶函数,即满足以下条件
σ取值于某实数区间
(5―11)
(5―12)
例5―1试求下列信号的拉普拉斯变换,并确定收敛域。
(1)f1(t)=et2; (2)f2(t)=u(t);
(3)f3(t)=e-2t·u(t); (4)f4(t)=e2t·u(t)
例5―1图
(a)F2(s)ROC;(b)F3(s)ROC;(c)F4(s)ROC
常用信号的拉氏变换
下面给出一些常用信号的拉普拉斯变换(假定这些单边信号均起始于t=0时刻)。
1)冲激信号δ(t)
2)阶跃信号u(t)
3)指数函数信号e-αt
4)t的正幂信号tn,(n为正整数)
(5―13)
(5―14)
(5―15)