文档介绍：李洁《数字信号处理》2005®
数字信号处理
Digital Signal Processing
第三章离散Fourier变换
主讲教师:李洁
由于数字信号处理
器只能处理离散信
号,所以我们需要继
续将离散时间序列进
行频域离散化(即就
是要找到依赖于离散
时间变量到依赖于离
散频率变量之间的一
种映射关系)—这就
是 DFT的作用。
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仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现
结论
总之,一个域的离散就必然造成另
一个域的周期延拓,而一个域的非周期与
另一个域的连续是相对应的。
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§ 离散Fourier变换的定义
1. 定义 N −1
kn
X (k) = DFT[x(n)] = ∑ x(n)WN k = 0,1,L, N −1
n=0
N −1
1 −kn
x(n) = IDFT[X (k)] = ∑ X (k)WN n = 0,1,L, N −1
2π N k=0
− j
N
其中 WN = e
注意
(1)x(n)是有限长序列,且长度为M。与Fourier变换和z变换不同,n仅定义在
[0,M-1]
的整数区间上; 2π
− j
N
(2)变换核为 WN = e ,将时域序列x(n)变换为频域序列X(k);
(3)序列x(n)经离散Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k),其中
N称为变换区间长度,N≥M;
(4)离散Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系,使信号在微处理
器上的频域分析成为可能;
(5)x(n)的离散Fourier变换的结果与变换区间长度有关。
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例 x(n)=R4(n),求x(n)的8
点和16点DFT。
解:设变换区间N=8
2π
7 3 − j kn
X (k) = x(n) kn = e 8
∑ W 8 ∑
n=0 n=0
2ππππ
− j k⋅4 − j k j k − j k
1⋅(1− e 8 ) e 2 (e 2 − e 2 )
= 2π= πππ
− j k − j k j k − j k
(1− e 8 ) e 8 (e 8 − e 8 )
π
3
− j πk sin( k)
= e 8 2
π
sin( k)
8
k = 0 , 1 , ... , 7
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MATLAB 用MATLAB实现DFT
function [Xk] = dft(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Transform
% -----------------------------------
% [Xk] = dft(xn,N)
% Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1
% xn = N-point finite-duration sequence
% N = Length of DFT
%
n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vecor for k
WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor
nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values
WNnk = WN .^ nk; % DFT matrix
Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients
习题开讲
习题1(6)
解
Digital Signa