文档介绍：第四章控制系统根轨迹分析法
主要内容
闭环极点与根轨迹的概念
根轨迹的绘制规则
应用根轨迹图定性分析系统性能指标
重点掌握
根轨迹的绘制方法
Matlab Function: rlocus; rlocfind; sgrid
根轨迹的概念
(Evans)提出的,该法是在已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上,研究某一个或某些系统参数的变化对控制系统闭环传函极点分布影响的一种图解法。
(比如开环增益k)由零到无穷大变化时,闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。
举例: 开环传函:
K为开环增益(因为标准型)
有两个开环极点
无开环零点
闭环传函: 则闭环特征方程为: 闭环特征根(即闭环传函的极点):
根轨迹的概念
考虑某一参数变化后,闭环极点的变化规律。通过极点的轨迹了解系统动态性能的变化。
利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。
G(s)
H(s)
+
-
闭环传递函数分母方程
即特征方程
根轨迹方程
根轨迹的概念
3 绘制根轨迹的条件:
由
得
幅值条件
相角条件
为m个开环零点
为n个开环极点
k——根轨迹增益
根轨迹的概念
模条件与角条件的作用:
1、角条件与k无关,即s平面上所有满足角条件的点都属于根轨迹。(所以绘制根轨迹只要依据角条件就足够了)。
2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益k值。
0
几何意义:从各开环极点引向根轨迹上的点s的矢量的长度的乘积除以从各开环零点引向根轨迹上的点s的矢量的长度的乘积所得的商即为该s点对应的系数k值.
根轨迹的概念
例:
开环极点为:
无开环零点
jω
σ
0
-
×
×
-p1
-p2
根轨迹的概念
试探法
(1)在实轴上取S1= -
S1
jω
σ
0
-
×
×
-p1
-p2
S1对应的
同理,实轴上之间的点都是根轨迹上的点。
根轨迹的概念
(2)在复平面上取S2= - +
S1对应的
同理,实轴垂直平分线上的所有点都是根轨迹上的点。
S2
jω
σ
0
-
×
×
-p1
-p2
•
-
根轨迹的绘制规则
规则一:根轨迹对称于实轴。
规则二:根轨迹的分支数,起点,终点。
(1)分支数等于闭环特征方程的阶数n:(因为n阶方程应有n个根,当时,n个根都随k变)
(2)根轨迹起始于开环极点(n个)
(3)根轨迹终止于开环零点(m个)和(n-m)个无穷远处。
因为由根轨迹方程:
起点,即k=0。只有当时,为无穷大。
终点,即,只有当或为0。