文档介绍：几何画板在命题中的应用
——反思一道错误的中考数学题
湖北省来凤县实验中学杨少涌
编写一套严谨、科学、准确评价各个不同层次学生的数学试题,是一项艰苦细致的工作,稍有不慎就会出庇漏.。本文试剖析2012年恩施州中考数学试题中的一道错题,希望引起命题人员和试题审查人员的注意,并尝试探讨如何做到防患于未然,提出了一些自己的看法。
如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
这是一道几何综合题,考察的知识点较多,较好的考察了学生几何推理的能力,有一定的难度。第一问考察了切线的判定,连接OB,有圆的半径相等,结合已知条件可证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线;解答过程如下:
(1)证明:连接OB
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线.
第二问考察了等边三角形的判定与圆周角定理,连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。解答过程如下:
(2)解:连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴FA=FO
∵FO=AO
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=∠AOF=30°
第三问考察了三角函数以及相似三角形的性质与判定。可过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,利用等腰三角形的三线合一性质可求出EG=BE=5,又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,进而求出⊙O的半径。给出的标准答案如下:
(3)解:过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴CE==13
∴CG==12,
又CD=15,CE=13,
∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得=
∴AD=•CG=
∴⊙O的半径为r =2AD =
对于本题的第三问,笔者认为此题的条件出现了错误,值得商榷。在这类问题的常规解法中,很容易联想到垂径定理,作OM⊥AB于M点,
M
设OA=r,由sin∠OAM=易得cos∠OAM= ,在Rt△AMO中,AM=cos∠OAM •r=r
由垂径定理可知AB=2AM=
在Rt△ADE中,AD=,AE==
由BE=AB-AE可得方程:_=10,解得r=≈
显然,这个结果与给出的标准答案不同,那么问题出在什么地方呢?
反思这个解题思路,1)在解题过程中用到了三角函数和垂径定理,利用方程思想解决问题,可见后面的这个解题过程没有错误。2)在解题过程中没有用上CD=15这个已知条件。换而言之,这个一个多余的条件。3)如果沿着这种解题思路结合已知条件继续推导下去,还可求出线段CD的长度,过程如下:
M
G
如下图,过点C作CG⊥BE于G,由CE=CB,
∴EG=BE=5
∵∠DA