文档介绍：杆单元目标:通过杆单元特性方程的建立,初步掌握有限元法单元分析的过程和原理,了解杆系结构分析的原理。
、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
L—杆长
A—截面积
E—弹性模量
考虑一个2节点一维等截面杆单元:
单元上的力学量和基本关系如下:
——杆单元位移
——杆单元应变
——杆单元应力
直接法导出单元特性(方法一)
杆单元伸长量:
应变—位移关系:
应力—应变关系:
下面通过二种方法研究杆单元的单元特性。
应变:
应力:
杆内力:
则杆的轴向刚度:
轴向拉压变形模式下,该杆单元的行为与弹簧单元相同,因此杆单元的刚度矩阵为:
比照弹簧元的刚度方程,写出杆单元的刚度方程为:
关于杆单元的讨论
1)在单元局部坐标系下,每个节点一个未知位移分量和一个自由度,单元共有2个自由度。
2)单元刚度矩阵元素的物理意义
刚度方程中令:
则:
单元刚度矩阵的第i(i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为1,其它自由度位移为0时,施加在单元上的节点力分量。
(也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素)
3)单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
单元刚度方程
举例
例1 求图示2段杆中的应力。
解:结构分为2个杆单元,单元之间在节点2铰接。
2个杆单元的刚度矩阵分别为:
参考前面弹簧系统的方法,装配2杆系统的有限元方程(平衡方程)如下:
引入边界位移约束和载荷:
方程化为:
上述方程组中删除第1,3个方程,得到:
解得:
即位移解为:
单元1应力:
单元2应力:
例2:求杆两端的支反力
已知:
解:
先检查杆右端与墙壁是否接触。计算右端的自由伸长:
所以,右端间隙将闭合,即节点3与刚性墙壁接触。
参照前面的讨论,可直接写出2单元系统平衡方程:
载荷与边界条件:
系统平衡方程为:
分离出第2个方程:
即:
得到:
节点位移列式: