文档介绍：单元知识总结
一、坐标法
建立了平面直角坐标系后,坐标平面上的点和一对有序实数(x,y)建立了一一对应的关系.
设两点的坐标为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离
特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的绝对值表示:
(1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴),则
|P1P2|=|y2-y1|
(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴),则
|P1P2|=|x2-x1|
(2)公式:分P1(x1,y2)和P2(x2,y2)连线所成的比为λ的分点坐标是
公式
二、直线
(1)当直线和x轴相交时,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角,叫做这条直线的倾斜角.
当直线和x轴平行线重合时,规定直线的倾斜角为0.
所以直线的倾斜角α∈[0,π).
(2)倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
∴当k≥0时,α=arctank.(锐角)
当k<0时,α=π-arctank.(钝角)
(3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为
(1)点斜式已知直线过点(x0,y0),斜率为k,则其方程为:y-y0=k(x-x0)
(2)斜截式已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则其方程为:y=kx+b
(3)两点式已知直线过两点(x1,y1)和(x2,y2),则其方程为:
(4)截距式已知直线在x,y轴上截距分别为a、b,则其方程为:
(5)参数式已知直线过点P(x0,y0),它的一个方向向量是(a,b),
v(cosα,sinα)(α为倾斜角)时,则其参数式方程为
(6)一般式 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0).
(7)特殊的直线方程
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a,y轴的方程是x=0.
②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b,x轴的方程是y=0.
(1)平行:当直线l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1≠b2.
(2)重合:当l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1=b2,当l1和l2是
(3)相交:当l1,l2是斜截式方程时,k1≠k2
②垂直
当
和
有斜截式方程时,
-
当
和
是一般式方程时,
+
l
l
l
l
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
k
k
=
1
A
A
B
B
=
0
ì
í
î
(x0,y0)与直线l:Ax+By+C=0的位置关系:
∶Ax+By+C1=0,l2∶Ax+By+C2=0间
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程的特点是除含坐标变量x,y以外,还含有特定的系数(也称参变量).
确定一条直线需要两个独立的条件,在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程,然后再根据另一个条件来确定其中的参变量.
(1)共点直线系方程:
经过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是待定的系数.
在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,=0时,即得A1x+B1y+C1=0,此时表示l1.
(2)平行直线系方程:直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时,+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C),λ是参变量.
(3)垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是:Bx-Ay+λ=0.
如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.
(1)二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
(2)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题,
例如,z=ax+by,其中x,y满足下列条件:
求z的最大值和最小值,这就是线性规划问题,不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件,z=ax+(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解.