文档介绍：§1数学方法选讲(1)
同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来,要提高解决问题的能力,要能在竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解
一、从简单情况考虑
华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁,相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上,后放的硬币不能压在先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问:先放的人有没有必定取胜的策略?
(包括A,B两点),将点A染成红色,点B染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色。这时,图中共有1997条互不重叠的线段。
问:两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?
,依次编号为1,2,3,…,1000。现在进行1,2报数:1号学生报1后立即离开,2号学生报2并留下,3号学生报1后立即离开,4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2,凡报1的学生立即离开,报2的学生留下,如此进行下去,直到最后还剩下一个人。问:这个学生的编号是几号?
×6的正方形网格中,把部分小方格涂成红色。然后任意划掉3行和3列,使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。那么,总共至少要涂红多少小方格?
二、从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑,对于数值问题来说,就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来说,指的是线段的端点,三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件,求解也就会变得容易得多。
,他知道每把钥匙只能打开其中的一个门,但不知道哪一把钥匙开哪一个门,现在要打开所有关闭的20个门,他最多要开多少次?
(n≥3)选手参加的一次乒乓球循环赛中,没有一个全胜的。问:是否能够找到三名选手A,B,C,使得A胜B,B胜C,C胜A?
(n≥3)名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。
试证明,总可以从中去掉一名选手,而使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。
×8的方格棋盘的方格中,填入从1到64这64个数。问:是否一定能够找到两个相邻的方格,它们中所填数的差大于4?
三、从整体考虑
从整体上来考察研究的对象,不纠缠于问题的各项具体的细节,从而能够拓宽思路,抓住主要矛盾,一举解决问题。
×4的表格,每个方格中填入了数字0或1。按下列规则进行“操作”:每次可以同时改变某一行的数字:1变成0,0变成1。
问:能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1?
,每堆分别有1998,998,98粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”:每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子,或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。
按上述方式进行“操作”,能否把这三堆石子都取光?如行,请设计一种取石子的方案;如不行,请说明理由。
,y,z,…的最大值和最小值分别记为max(x,y,z,…)和min(x,y,z,…)。已知 a+b+c+d+e+f+g=1,求min[max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)]
课后练习
+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗?为什么?
,2,3,…,8899排成一列。从1开始,留1划掉2和3,留4划掉5和6……这么转圈划下去,最后留下的是哪个数?
,n的约数的个数用一个记号A(n)来表示。例如当n=6时,因为6的约数有1,2,3,6四个,所以A(6)=4。已知a1,a2,…,a10是 10个互不相同的质数,又x为a1,a2,…,a10的积,求 A(x)。
,无三点共线。将某些点用线段连结起来,但线段不能相交,直到不能再连结时为止。问:是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形,它的内部没有其余97个点中的任何一个点?
,每两个小朋友之间的距离都不相同,每个小朋友手上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后,每人用枪射击距离他最近的人。问:射击后有没有一个小朋友身上是干的?为什么?
,请你说明不管怎样分,至少有4只猴子分的花生一样多。