文档介绍：主要内容
第七讲线性方程组
线性方程组的基本定理;
线性方程组的解法
——求解线性方程组的步骤;
矩阵方程有解的充要条件,及其推论.
基本要求
理解线性方程组无解、有唯一解或由无限多个
解的充要条件(包括非齐次线性方程组有解的
充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条
件);
熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组
的方法;
知道矩阵方程有解的充要条件.
1
一、线性方程组的基本定理
第四节线性方程组的解
1. 定理的引入
设
线性方程组无解.
2
2. 线性方程组的相容性
线性方程组如果有解,就称它是相
容的;如果无解,就称它不相容.
利用系数矩阵和增广矩阵的秩,可以方便地讨
论线性方程组是否相容,以及有解时解是否唯一
等问题.
3
3. 线性方程组的基本定理
定理4
元线性方程组
(ⅰ) 无解的充分必要条件是
(ⅱ) 有唯一解的充分必要条件是
(ⅲ) 有无限多解的充分必要条件是
4
证
因为条件(ⅰ)、(ⅱ) 、(ⅲ)中的必要性分别可
以由(ⅱ) (ⅲ) 、(ⅰ) (ⅲ) 、(ⅰ) (ⅱ) 中条件的
必要性推得,所以只需证明条件的充分性.
设
的行最简形为
为了叙述方便,不妨设
5
(ⅰ) 若则中的
6
(ⅰ) 若则中的
于是的第行对应矛盾方程,故方程
无解.
(ⅱ) 若则中的
(或不出现),
且都不出现,即
7
(ⅰ) 若则中的
于是的第行对应矛盾方程,故方程
无解.
(ⅱ) 若则中的
(或不出现),且都不出现,即
8
这就是线性方程组的唯一解.
(ⅲ) 若则中的
(或不出现),
这时为
9
对应的方程组为
10