文档介绍：线性代数总结
东北大学数学系
李铮
重要概念
行列式定义、性质;
向量组线性相关、线性无关的定义;
秩(向量组的秩、矩阵的秩)的定义;
线性方程组解的存在惟一性的判据,基础解系;
线性空间、线性子空间的定义、性质;
线性变换的定义、性质;
欧几里得空间的定义;
正交向量、正交矩阵、内积、夹角、Cauchy-Schwarz不等式;
特征值与特征向量的关系,实对称矩阵特征值与特征向量的关系,
矩阵全体特征值与矩阵的迹、矩阵行列式的关系;
合同的定义;
惯性定理,正(负)定的定义以及充要条件;
矩阵的等价的定义.
需掌握的计算题型
解行列式:七条性质,展开定理,初等变换;
初等变换:用途 a. 判断向量线性相关; b. 判断矩阵(向量组)的秩;
c. 解方程组;d. 求矩阵的逆;e. 解行列式; f. 判断方程组解的存在惟一性.
求伴随矩阵:可用于求逆;
求(齐次或非齐次)线性方程组的通解;
求向量在某组基下的坐标(解方程组);
线性无关组的Schimidt正交化、单位化;
求矩阵的全体特征值和特征向量;
矩阵的相似对角化(求相似变换矩阵、对角矩阵);
实对称矩阵的正交相似对角化;
用正交变换化二次型为标准型(求标准型、变换式);
判断二次型的正定性:顺序主子式法,特征值法,化标准型法;
求线性变换在某基β1, β2, …,βn下的坐标;
分块矩阵的运算(分块乘法,分块求逆);
思考题
任意数域都包含有理数域?
两个基之间的过渡矩阵是可逆矩阵?
两组规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵?
矩阵的全体特征值与矩阵的迹、行列式之间的关系?
两个矩阵合同则必等价,但等价未必合同?
两个实对称矩阵相似则必合同,但合同未必相似?
两个矩阵相似必有相同的特征值,但有相同的特征值未必相似?
其他小证明
R(AB)≤ min{R(A), R(B)}, R(A+B)≤ R(A)+R(B)
若AB=O, 则 R(A)+R(B) ≤A的列数
线性空间的零向量惟一,负向量惟一,0α=θ, kθ=θ,
若kα=θ,则k=0或α=θ.
实对称矩阵的特征值必为实数;实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必相互正交;
属于不同特征值的特征向量必线性无关()