文档介绍：第四章波形估计(最佳线性估计、滤波)
参量估计-静态估计-随机参量,非随机参量
波形估计-动态估计-随机过程
线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态
最佳估计-仅当高斯随机过程的特殊情况
线性最佳估计,最佳线性滤波-最小方差准则
最佳线性滤波要解决的问题:给定有用信号与加性噪声混合的信号波形,寻求作用于此混合波形的一种线性运算,得到的结果将是信号与噪声的最佳分离。
最佳-使估计的均方误差最小。
☆维纳滤波(Wiener Filtering)-1940
平稳随机过程的最佳线性滤波,必需存储所用到的全部数据,计算量太大,不适于实时处理。
卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-1960
将状态变量引入滤波理论,利用递推算法,便于实时处理,并可处理非平稳随机过程。
§4-1、线性变换与正交原理
线性变换
估值为观测信号的线性变换,故可写成:
式中算子表示线性变换,估计准则是线性最小均方误差
因此,定义误差:
希望导出估计准则,使下列均方误差最小:
由于变换是线性的,则对于所有的常数a1,a2和过程Z1(t)和Z2(t)有:
若和是两个线性变换,即:
则其差的变换也是线性变换,即:
将(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中,即可证明,对于线性变换有:
式中算子表示数学期望。
若X(t)在区间[ti,tf]对所有的ξ与Z(ξ)正交,即:
则对于Z(ξ)的任何线性变换,在区间ξ∽[ti,tf]对X(t)也正交。若L[Z(
ξ)]是Z(ξ)的线性变换,因为线性变换和期望是可以交换的,故有:
二、正交原理
线性变换是最小均方误差估值,当且仅当误差e(t) 在区间ξ∽[ti,tf]对Z(ξ)正交。
证明:假若所有过程Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。考虑线性变换,对所有ξ,,于是均方误差是最小,则
是最佳估值,且
考虑线性变换,对所有ξ,,则误差对所有ξ与数据Z(ξ)正交,即:
误差e1(t)可用 e2(t)表示,如
由式(4-7) 差的变换也是线性变换。将式(4-14)代入式(4-12),由最佳估值,线性均方误差变成:
因为e2(t)对数据Z(ξ)正交,也就对L[Z(ξ)]正交,如方程(4-9)所示,于是
则最小均方误差简化为:
其中为估计值的均方误差。因此
当且仅当非负值为零,即:
这就证明了上述正交原理;对于误差与数据正交,线性变换导致最小均方误差线性估计值,反之亦然。
维纳滤波器的推导可以用正交原理的方法,也可采用其他的方法,如变分法等。
§4-2维纳滤波(平稳随机过程的最佳线性滤波)
滤波的条件及要求:
⑴有用信号s(t)是随机过程+加性噪声n(t)—输入x(t)
并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的,具有已知的自相关函数和互相关函数(或对应的谱密度函数);
⑵滤波器是线性时不变的h(t)—H(ω)
⑶输出是宽平稳的,即稳态滤波的含义。理论上可认为输入信号x(t)是在t=-∞时加入的,因此,在任何有限时刻t,输出y(t)是宽平稳的。
⑷选取滤波器的h(t)H(ω),使估计的均方误差最小。
a<0-平滑,a=0-滤波、去噪,a>0-预测。
滤波器的理想输出为s(t+a),估计的误差为:
e(t)=s(t+a)-y(t)—(4-20)
用变分法:
估计误差的平方为:
而
代入上式,两边取数学期望,得到均方误差:
式中:Rs-s(t)的自相关函数
Rx-x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数
Rs,x-s(t)和x(t)之间的互相关函数
若信号s(t)和噪声n(t)不相关,且噪声均值为零,即E[n(t)]=0,则有:
维纳滤波就是要求出(4-23)式中的h(u),使得
最小,为此可以利用变分法求解。令冲击响应为:
h(u)+(u)—(4-25)
h(u)—最佳冲击响应
h (u)—任意扰动函数
e--小的扰动因子
当e-->0,冲击响应-->h(u)最佳冲击响应。
于是我们可以将式(4-25)代入(4-23)式中,则有:
容易看出是e的函数,当e=0时取最小值,故可求
改写积分变量后,可得:
下面分别就物理不可实现(非因果)和物理可实现(因果)的两种情况,来讨论此式的求解问题。
物理不可实现(非因果)维纳滤波器
所谓非因果的维纳滤波器,是指不仅要利用过去的数据也要求利用未来的数据,故只可用于事后的数据分析,不适合实时处理。(4-29)式表明对
均没有任何限制。故(4-28)式唯一可能的解,就是式中方括号[ ]内的项为零,即:
此为弗雷德霍姆(Fredholm)第一类方程,积分区间为(-¥,+¥),两端求双边拉氏变换得:
式中故有:
当信号与噪声不相关(统计独立