文档介绍：交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查,是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案,必要时设置单行线,以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况
图2 某城市单行线示意图
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
500
1
2
3
4
400
300
100
200
300
x1
x2
x3
图3 某城市单行线车流量
(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?
(3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
(4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?
【模型假设】(1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足
500 = x1 + x2 ①
400 + x1 = x4 + 300 ②
x2 + x3 = 100 + 200 ③
x4 = x3 + 300 ④
【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组
其增广矩阵
(A, b) =
由此可得
即
.
为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可.
当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.
若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = -100 < 0. 这表明单行线“③¬④”应该改为“③®④”才合理.
【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.
(2) 由可得, , , 这就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三