文档介绍：专题七导数的应用(文科)
(一)函数的切线
1.(2011年重庆卷)曲线在点(1,2)处的切线方程为( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2011年四川卷)在抛物线上取横坐标为,的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切,则抛物线顶点的坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
3.(2011年山东卷)曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
5.(2010年全国卷二)若曲线在点处的切线方程为,则( )
(A) (B)(C) (D)
6.(2009江西卷文)若存在过点的直线与曲线和
都相切,则=( )
(A)或(B)或(C)或(D)或
7.(2009江西卷理)设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
8. (2009陕西卷文)设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为( )
(A) (B) (C) (D) 1
9. (2008年辽宁文)设P为曲线上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )
(A) (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)[,1]
10.(2008年全国卷二)设曲线处的切线与直线平行,则a=
(A)1 (B) (C) (D)-1
11.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为_(-2,15)
12.(2010年湖北卷)设函数,其中a>0,曲线在点P(0,)处的切线方程为y=1。
(Ⅰ)确定b、c的值;
(Ⅱ)设曲线在点()及()处的切线都过点(0,2),证明:当时,;
(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,求a的取值范围。
解:(I)由
又由曲线处的切线方程为y=1,得故
(II)处的切线方程为
,而点(0,2)在切线上,所以,化简得:
下面用反证法证明:
假设处的切线都过点(0,2),则下列等式成立.
由(3)得
(III)由(II)知,过点(0,2)可作的三条切线,等价于方程有三个相异的实根,即等价于方程
有三个相异的实根.
故有
0
+
0
-
0
+
↗
极大值1
↘
极小值
↗
由的单调性知:要使有三个相异的实根,当且仅当<0,.
的取值范围是
(二)函数及导数的图像关系、导数的性质
1.(2010年江西理)等比数列中,,=4,函数,则( )
A. B. C. D.
2.(2009安徽卷文)设,函数的图像可能是C
3.(2010年江西卷)若满足,则( )
A. B.
(04年全国卷四) 已知函数,
5.(2010年山东)观察,,,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记的导函数,则=( )
(A) (B) (C) (D)
8.(2009江西卷文)(本小题满分12分)
设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
解:(1) ,
因为,, 即恒成立,
所以, 得,即的最大值为
(2) 因为当时, ;当时, ;当时, ;
所以当时,取极大值;
当时,取极小值;
故当或时, 方程仅有一个实根. 解得或.
6.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)
已知函数
求的单调区间;
若在处取得极值,直线y=my与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。
:(1)
当时,对,有
当时,的单调增区间为
当时,由解得或;
由解得,
当时,的单调增区间为;的单调减区间为。
(2)因为在处取得极大值,
所以
所以
由解得。
由(1)中的单调性可知,在处取得极大值,
在处取得极小值。
因为直线与函数的图象有三个不同的交点,又,,
结合的单调性可知,的取值范围是。
7.(05Q2)设a为实数,函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
(三)函数的单调性、极值、最值及不等式恒成立问题
1.(2011年辽宁卷)函数的定义域为,,对任意,,
则的解集为
A.(,1) B.(,+)
C.(,) D.(,+)
2.(2011年福建卷) 若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
3.(05Q1)函数已知时取得极值,则a=( )