文档介绍：第三章静态优化模型
存贮模型
生猪的出售时机
森林救火
最优价格
血管分支
消费者均衡
冰山运输
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森林救火
森林失火后,要确定派出消防队员的数量.
分析假设
问题
记队员人数x,
损失费f1(x)是x的减函数,
救援费f2(x)是x的增函数,
存在恰当的x,使f1(x), f2(x)之和最小.
综合考虑损失费和救援费,确定最佳队员数量.
火灭时刻t2,
由烧毁面积B(t2)决定.
由队员人数和救火时间决定.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1,
在时刻t森林烧毁面积为B(t).
(二者相权求平衡!)
队员多,森林损失小,救援费用大;
队员少,森林损失大,救援费用小.
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关键是对烧毁面积B(t)作出合理的简化假设.
问题分析
t=0为失火时刻, t=t1为开始救火时刻(此刻过火面积增加的速度开始减缓,曲线的拐点),
t1
t2
0
t
B
B(t2)
直接分析B(t)比较困难,转而讨论
灭火时刻t2 (此时过火面积恒定,不复变大),
画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致示意图形.
(救火!)
(灭火!)
(似曾相识?S型曲线!)
单位时间烧毁面积 dB/dt (森林烧毁速度).
3
模型假设
3)f1(x)与B(t2)成正比,
1)0tt1, dB/dt 与 t成正比,
2)t1tt2, 降为
4)每个队员的单位时间灭火费用c2,
r
B
森林烧毁的速度dB/dt
(救火前升!)
(救火后降!)
(为队员的平均灭火速度).
(损失费!)
系数c1 (烧毁单位面积损失费)
(负斜率!)
一次性费用c3 .
系数为(火势蔓延速度).
-x<0
4
模型建立
b
0
t1
t
t2
假设1)
目标函数——灭火总费用
假设2)
森林烧毁速度dB/dt
(救火前升!)
(救火后降!)
(绝对斜率非负!)
(绝对斜率!)
(对边比邻边)
(定积分几何意义即三角形面积!)
f1(x)与B(t2)成正比,
每个队员单位时间灭火费c2, 一次费c3
(损失费)
(救火费)
(反解!)
(移项!)
(高底乘半!)
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模型建立
(关于人数x的)总费用目标函数
模型求解
求人数x使 C(x)最小
结果解释
速度比/是
b
0
t1
t2
t
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
(最小值问题)
(求导得驻点!)
(反解人数)
为队员的平均灭火速度
系数为火势蔓延速度
火势不继续蔓延的最少人数
(自行推导!)
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q2
U(q1,q2) = c
q1
0
消费者均衡
问题
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族(等势线或等高线)表示,问他如何分配一定数量的钱购买这两种商品,以达到最大的满意度.
设甲乙数量为q1,q2,
U(q1,q2) ~ 效用函数
问题的数学描述:已知甲乙价格 p1, p2, 有钱s,试分配 s,购买甲乙数量 q1, q2,使效用函数 U(q1, q2)最大.
消费者的无差别曲线族记作 U(q1,q2)=c
(Utility Function)
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s/p2
s/p1
q2
U(q1,q2) = c
q1
0
模型
已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或比值 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2).
几何解释
直线MN:
最优解Q: MN与 l2切点
斜率
·
M
Q
N
·
·
(subject to 约束于条件)
(在约束条件MN下达到目标l)
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结果解释
——边际效用
消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到.
均衡方程
(最贵的就是最好的!)
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冰山运输
背景
波斯湾地区石油丰富但水资源贫乏,.
专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山(穿越赤道到波斯湾),取代淡化海水.
从经济角度研究冰山运输的可行性.
建模准备
1. 日租金和最大运量
船型
小中大
日租金(英镑)
最大运量(米3)
5105
106
107
(船大了贵,但装载多)
(北极熊为什么不吃企鹅?)
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