文档介绍：函数的概念及表示法(习题课)
【评析】函数的图象是函数的直观描述,结合学过的基本初等函数,可作出一般的函数图象.
【分析】函数图象表示的是表示
函数关系的两个变量之间的关系,
故可由函数定义判定.
(x)=x+ 的图象是( )
【解析】f(x)=x+ = ,结合图象知选C.
C
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考点一图象法
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作出下列函数的图象.
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上(∵x∈Z,从而y∈Z),这些点称为整点(如图甲).
(2)∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段曲线(如图乙).
考点二求函数解析式
(1)如果,则f(x)= ;
(2)如果,则f(x+1)= ;
(3)如果f[f(x)]=2x-1,则一次函数f(x)= ;
(4)如果函数f(x)满足方程af(x)+ =ax,x∈R,且x≠0,a为常数,且a≠±1,则f(x)= .
【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x”而言,
“f”是一种怎样的对应关系.
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【解析】(1)∵∴.
(2)∵
∴f(x)=x2+4, ∴f(x+1)=(x+1)2+4.
(3)∵f(x)为一次函数,设f(x)=kx+b(k≠0),
∴f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1.
比较系数得
或.
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(4)∵,用替换上式中的x得
∴由
可得
【评析】①求f(x)解析式的方法比较多,如上述例子中就分别用了换元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法,其他方法请试用.
②换元法求f(x)是常用的方法,但要特别注意正确确定中间变量的取值范围,否则就不能正确确定f(x)的定义域.
③(4)题的解法基于这样一种认识:函数是定义域到值域上的映射,,x满
足已知的式子,那么在定义域内也满足这个式子,这样就得到两个关于f(x)与的方程,因而能解出f(x).
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(1)已知f( )=x+2 ,求f(x);
(2)已知求f(x);
(3)已知函数f(x)满足,求f(x)的表达式.
(1)解法一:
解法二:令t= +1,则x=(t-1)2(t≥1),代入原式有
f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
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解法二:设x+ =t,则t≠1且x= ,
∴f(t)=1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1(t≠1).∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
(3)∵,
∴代替x得-f(x)= ,
联立两式消去得
(2)解法一:
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考点三由函数图象求函数解析式
已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,求f(x)的解析式.
【分析】由图象特点先确定函数类型,再求解析式.
【评析】熟练掌握学过的函数图象,有利于这类问题的解决.
【解析】当-1≤x≤0时,设y=ax+b,
∵过点(-1,0)和(0,1),∴
同样,当0<x≤2时,有
∴
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函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为( )
(x)=(x-a)2(b-x) (x)=(x-a)2(x+b)
(x)=-(x-a)2(x+b) (x)=(x-a)2(x-b)
(由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<.
故应选A.)
A
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