文档介绍：导数的几何意义
吴树恒
2、平均变化率的几何意义——割线的斜率:
1、平均变化率:
函数y=f(x)的定义域为D,∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
知识回顾
3、导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
4、由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:
思考:我们知道函数的平均变化率有几何意义,那么导数的几何意义又如何去表述呢?
P
Pn
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定位置PT. 我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
对比:此处的切线与以前学过的圆的切线有何区别?
思考:割线的斜率与切线的斜率有什么样的关系呢?
割线的斜率是:
当点无限趋近于点P时, 无限趋近于切线的斜率,因此,函数在处的导数就是切线的斜率,即:
我们可以看到,切线的斜率的就是割线斜率的极限值,也就是函数在处导数。
导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率。
导数就是切线的斜率
练一练
函数在处的导数的几何意义是( )
A、在处的斜率
B、在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C、曲线在点处切线的斜率
D、点与(0,0)连线的斜率
C
应用举例——利用导数几何意义求切线方程
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
一试身手
练****1:已知曲线上的一点,则点A处的切线的斜率为( )
A、4 B、16 C、8 D、2
变式:已知曲线上的一点,则点A处的切线
方程为_____________________
C
应用举例——利用导数求切点坐标
例2、已知直线和曲线相
切,求切点坐标和的值。