第八章 数值积分.ppt

文档介绍：第八章数值积分
近似计算
插值型求积公式
思路
利用插值多项式则积分易算。
在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b,做 f 的 n 次插值多项式,即得到
Ak
由决定,
与无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
误差
复化求积公式
如果积分区间比较大,直接地使用上述求积公式,
精度难以保证。
高次插值有Runge 现象,故采用分段低次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
(1)等分求积区间,比如取步长,分[a, b]为n等分,
分点为 k = 0, 1, 2,…, n
(2)在区间[xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik
(3)取和值,作为整个区间上的积分近似值。
复化梯形公式:
在每个上用梯形公式:
= Tn
/*积分中值定理*/
复化 Simpson 公式:
4
4
4
4
4
= Sn
注:为方便编程,可采用另一记法:令 n’= 2n 为偶数, 这时,有
例 :利用数据表
xk
0
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
f (xk)
4







2
计算积分
这个问题有明显的答案
取n = 8用复化梯形公式
取n=4,用辛卜生公式
变步长梯形方法
求积公式的误差
当
时,不考虑舍入误差,求积公式是精确成立的。
舍入误差:
取f (x)  1,则
若f (xk)的舍入误差小于,则


龙贝格求积公式
龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了
线性外推的加速方法,由此构成的一种具有超线性
收敛的自动积分法
方法思路:
,计算梯形和序列