文档介绍：第二章控制系统的数学模型及传递函数
【教学目的】
※掌握拉氏变换及其性质
※掌握系统微分方程式的建立
※熟悉传递函数的概念及其求法
※熟悉框图简化法及梅逊公式
【教学重点】
※拉氏变换的定义
※用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换
※拉氏变换的定理及其应用
※建立简单系统的微分方程
※传递函数的概念
※结构图的联接方式及传递函数
※结构图简化及简单系统的传递函数求法
【教学难点】
※建立在复数域描述一个函数的概念。
※时域位移定理的应用。
※建立微分方程
※结构图简化法则的灵活运用, 梅逊公式的应用
【教学方法及手段】
采用板书讲授的方式进行授课,在课程中注意定理的应用,在理论之后加以例题辅助理解,上课时应注意对学生注意力的吸引。
【学时分配】
8课时
【教学内容】
2-1 拉普拉斯变换的数学方法
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量S的乘积,将时间表示的微分方程,变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义
1、拉氏变换:设有时间函数,其中,则f(t)的拉氏变换记作:
称L—拉氏变换符号;s-复变量; F(s)—为f(t)的拉氏变换函数,称为象函数。
f(t)—原函数
拉氏变换存在,f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件):
1)在任何一有限区间内,f(t)分断连续,只有有限个间断点。
2)当时,,M,a为实常数。
2、拉氏反变换:将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号
关于拉氏及变换的计算方法,常用的有:①查拉氏变换表;②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换
在实际中,对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号,这些信号可用一些典型时间函数来表示,本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
由欧拉公式:
所以,
其它的可见表2-1:拉氏变换对照表
F(s)
f(t)
1
1(t)
t
三、拉氏变换的性质
1、线性性质
若有常数k1,k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),
则有:,此式可由定义证明。
2、位移定理
(1)实数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a
有, 其中,当t<0时,f(t)=0,f(t-a)表f(t)延迟时间a.
证明:,
令t-a=τ,则有上式=
例:, 求其拉氏变换
(2)复数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有
证:
例:求的拉氏变换
3、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),
则
其中f(0+)由正向使的f(t)值。
证:
同理可推广到n阶:
当初始条件为0时,即
则有
4、积分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),则
,其中时的值。
证明:
同理可得n阶积分的拉氏变换:
当初始条件为0时,f(t)的各重积分在时,均为0,则有
]
5、初值定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),则函数f(t)的初值定理表示为:
证明:由微分定理知:
对等式两边取极限:
则有
例:已知,求f(0+)
由初值定理知:
6、终值定理:
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为:
证明:由微分定理知:
令,对上式两边取极限,
这个定理在稳态误差中常用。
例:已知:,求f()
7、卷积定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s),
则有
式中,称为f(t)与g(t)的卷积。此定理不要求证明。
课堂练习:
求L[t2]
2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换
3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求
4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]
四、拉氏反变换的数学方法
在已知象函数F(s),求f(t)时,对于简单的象函数,可直接利用表2-1来查,但对于复杂的,可利用部分分式展开法,即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和,再求出各个分式的原函数,从而求出总的原函数。
部分分式展开法:
对于象函数F(s),常可写成如下形式:
式中,p1,p2…,pn称为F(s)的极点,p1,p2…,pn称为F(s)的零点。一般A(s)的阶次大于B(s),若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。
下面分两种情况,研究分式展开法。
1、F(s)无重极点的情况
此时,F(