文档介绍：(1)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上列出一块长方形地面修建一幢公寓楼。问如何设计才能使公寓的占地面积最大,并求出其最大面积。
分析:显然建房的矩形地面的两边必须在DC、DE上,关键在于如何寻找矩形的第四个顶点才能使建房面积最大,而第四个顶点G一定在AB边上。
解:以BC、AE边所在直线分别为x、y轴建立如图所示的直角坐标系,则直线AB的方程为x/30+y/20=1设建房的矩形的第四个顶点为G(3x,20-2x),矩形地面的面积为S平方米,依条件有:S=(100-3x)[80-(20-2x)]=(100-3x)(60+2x)=≤=当且仅当200-6x=180+6x即3x=5时等式成立,故Smax=平方米。
从而在线段AB上取点G(5,50/3),过点G分别作BC与AB的平行线交DC与DE于H、F,则此矩形地面的面积最大,其最大面积为平方米。
(2)据气象台预报,在A市正东方向300公里的B处有一台风中心形成,并以每小时40公里的速度向西北方向移动,距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,台风将影响A市,持续时间有多长?
分析:台风中心在运动,它的运动规律是什么?我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。视A市为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系XOY,则B处的坐标(300,0),圆A的方程为x2+y2=2502,易知当台风中心在圆A上或内部时,台风将影响A市。
解:建立如图所示的直角坐标系,台风中心运动的轨迹是一条射线,由于台风中心以每小时40公里的速度向西北方向移动,于是可设台风中心所在的射线的参数方程为:
x=300+40tcos135o 即 x=300-20t
y=40tsin135o (t≥0) y=20t (t≥0)
其中,参数t的物理意义是时间(小时),于是问题转化为“当时间t在何范围时,台风中心在圆A的内部或边界上”。
台风中心C(300-20t,20t)在圆A上或内部的充要条件是:
(300-20t)2+(20t )2≤2502 ,≤t≤
所以大约2小时后,A市将受到台风影响,。
注:这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律,指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。
(3)A、B两个批发市场,商品批发价格相同,但在某地区的居民从两地运回商品时,每单位距离的运费不同,A地的运费是B地的两倍,已知A、B两地相距100公里。问:A、B两批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利?
分析:因为选择从A或B进货的标准应该是包括运费在内的总费用比较便宜,因此在
A、B两个批发市场的售货区域分界线上,到两地进货的费用应该相等,由于商品价格一致,于是只要运费相等就使附近居民获利。设M为分界线上任意一点,从B市场运往M的单位运费未能a,则有于是,从而知点M具有特殊性质,即M到两定点A、B的距离之比为定值1/2,这样问题就转化为“求到两定点A、B距离之比为定值1/2的点M的轨迹方程”。
以A、B两地距离的中点为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,则A、B的坐标分别(-50,0)、(50,0),设M(x,y),由距离公式:化简整理得: , 所以售货区域分界线应是以(-250/3,0)为圆心200/3为半径的圆。由于,所以在该圆上的居民从A或B市场进货均可以,因为进货总费用一样,而圆内的居民则从A市场进货较便宜,圆外的居民从B市场进货较合算。
(4)一农民有田2亩,根据他的经验:若种水稻,则每亩每期产量为400公斤,若种花生,则每亩产量为100公斤,但水稻成本较高,每亩每期240元,而花生只要80元,且花生每公斤可卖5元,稻米每公斤只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物应各种多少亩,才能得到最大利润?
分析:最优种植安排问题就是要求当非负变量x、y满足条件和时,总利润P达到最大。
解:设水稻种x亩,花生种y亩,则有题意得:
即
此不等式组的解为如图所示的四边形区域(包括边界),这些解通常就叫做本问题的可行解,并称这个区域为问题的可行解区域。
而利润P=(3×400-200)x+(5×100-80)y=960x+420y
为二元函数,通常就叫做本问题的目标函数。故所求问题变为:要在此可行解区域内,找出(x,y)点,使目标函数P=960x+420y的值为最大,这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢?观察目标函数P,我们知道:
(1) 当P等于任意常数m时,m=960x+420y 都是-48/21的直线;
(2) 若直线l:m=960x+420y与可行解区域相交,则对应于此直线的任一可行解,目标函数P的值皆为m;
(3) 当