文档介绍：数
列
求
和
S=a+b+c+d+e+f+g+h
连城一中—罗文鑫
数
列
求
和
介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法:
1、运用公式法
2、错位相减法
3、裂项相消法
4、通项分析法
数
列
求
和
一、运用公式法
运用公式法主要是使用已经证明,并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。
如:等差数列的求和公式:
等比数列的求和公式:
还有一些常用公式:
请看下面例子:
数
例1 求数列的前n项和
分析:
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为、公比为的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。
解:
归纳出:奇数列的前n项和
列
求
和
1
二、错位相减法
错位相减法在等比数列求前 n项和时用过;它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。
求法步骤如下:
1、在的两边同时乘于公比q
2、两式相减;左边为,右边q的同次式相减
3、右边去掉最后一项(有时还得去掉第一项)剩下的
各项组成等比数列,可用公式求和。
看以下例子
数
列
求
和
例2 求数列的前n项和
分析:
该数列可看作等差数列等比数列的积数列
这里等比数列的公比 q =
解:
两式相减:
所以:
运算整理得:
数
列
求
和
2
例3 设求数列的前n项和
分析:
这个数列的每一项都含有a,而a等于1或不等于1,对数列求和有本质上的不同,所以解题时需讨论进行
解:
两边同乘a:
两式相减:
所以:
运算并整理得:
数
列
求
和
2
三、裂项相消法
顾名思义,“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项,然后,前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。
求法步骤
1、先分析数列的项的结构,把通项式“裂”成几项。
(注意:裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行)
2、解题时;对裂开后的通项式令n取1,2,3,
,n
然后相加得
3、把和式中每一对相消为0的式子除去,整理剩下的
式子即为和式。
请看下面例子
数
列
求
和
例4 求数列的前n 项和。
分析:
该数列的特征是:分子都是1,分母是一个以1为首项,以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3,就可以裂项了。
解:
数
列
求
和
3
例5 求数列的前n项和
分析:
该数列的分子是偶数的平方,分母是奇数列相邻两项的乘积;从例4的经验看:该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大,那就看分子能否化为常数。
注意到该数列的通项公式的特征:分子、分母同次且没有一次项;
所以使用处理分式函数的常用手段:“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下:
数
列
求
和
3