文档介绍：课程设计任务书
学生姓名: 专业班级:
指导教师: 肖纯工作单位: 自动化学院
题目: 高阶系统的时域分析
初始条件:设单位系统的开环传递函数为
要求完成的主要任务: (包括课程设计工作量及其技术要求,以及说明书撰写等具体要求)
当K=10,a=1,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性。
如稳定,则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应,用Matlab绘制相应的曲线,并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标,计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。
如不稳定,则计算系统稳定时K、a和b的取值范围,在稳定范围内任取一值重复第2个要求。
绘制a=1,b=4时系统的根轨迹。
时间安排:
任务
时间(天)
指导老师下达任务书,审题、查阅相关资料
2
分析、计算
3
编写程序
2
撰写报告
2
论文答辩
1
指导教师签名: 年月日
系主任(或责任教师)签名: 年月日
目录
1 高阶系统的数学模型 1
2 系统稳定性分析 1
3 高阶系统的时域分析 3
单位阶跃响应 4
求单位阶跃响应 4
单位阶跃响应动态性能 7
单位阶跃响应稳态性能 9
单位斜坡响应 10
求单位斜坡响应 10
单位斜坡响应稳态性能 11
单位加速度响应 11
求单位加速度响应 11
单位加速度响应稳态性能 13
4 系统根轨迹 13
5 设计心得体会 15
参考文献 15
高阶系统的时域分析
1 高阶系统的数学模型
一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为:
对分子、分母进行因式分解,得到零极点形式:
(1)
式(1)中,K=b0/a0;zi ,pj分别为系统闭环零、极点。
本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为
(2)
则其闭环传递函数为(假设为负反馈):
(3)
2 系统稳定性分析
线性系统稳定的充分必要条件为:闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均位于s左半平面。
若求出闭环系统特征方程的所有根,就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说,求特征方程根很困难,并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法—劳斯稳定判据。
设系统的特征方程为,则可列出劳斯表如表1所示。
表1 劳斯表
…
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…
…

按照劳斯稳定判据,系统稳定的充分必要条件为:劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定,且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。
当K=10,a=1,b=4时,代入式(3)得到系统闭环传递函数
则系统的闭环特征方程为:D(s)=s4+5s3+12s2+18s+40=0. 按劳斯判据可列出如下劳斯表:
由于劳斯表第一列数值符号有两次变化,故系统不稳定,且存在2个正实部根。现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时K,a,b的取值范围。
原给定系统的闭环特征方程为:D(s)=s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+Kb=0,按劳斯判据可列出如下劳斯表:
根据劳斯稳定判据,令劳斯表中第一列各元素为正,即:
即K、a和b必须满足:
(4)
系统才稳定。
3 高阶系统的时域分析
取K=15,a=2,b=2时系统闭环传递函数
(5)
分析,此时K、a、b的值满足不等式组(4),系统稳定。
单位阶跃响应
求单位阶跃响应
单位阶跃输入r(t)=1(t),R(s)=1/(n≥3)阶系统先将系统闭环传递函数一般形式化成如(1)式所示零极点形式,则在单位阶跃输入作用下,系统输出可表示为(假设系统闭环极点均不相同):
将该式展开成部分分式的形式,响应可表示为
式中,A0、Aj(j=1,2,…,q)、Bk和Ck(k=1,2,…,r)是由部分分式展开时获得的系数。
对上式取拉普拉斯反变换得到系统时域响应表达式:
由上式可知,高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量组成。对于稳定系统,上式瞬态响应分量的指数衰减项和正弦衰减项均随响应时间t趋于无穷而趋于零,系统达到稳态值。各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小,将取决于它们的指数的值及相应系数项Aj、Bk、Ck的大小。
在瞬态过程中,某衰减项的指数|pj|或的值越大,则该项衰减越快,反之亦然。而|pj|和就是系统的极点到虚轴的距离。因此,如果分布在s平面左半部分的极点离虚轴越远,则