文档介绍：实变函数的可测函数数学培训讲义
第一节可测函数的定义及其简单性质新的积分(Lebesgue积分,从分割值域入手) 1可测函数定义(3)可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。⒊可测函数的等价描述对前面等式的说明⒋可测函数的性质注:在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) 。(almost everywhere) ⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
对上式的说明: 例: R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
例设{fn}是可测函数列,则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 可测函数与简单函数的关系例:设f(x)是R上连续函数,g(x)是E上可测函数,则f( g(x))是可测函数。
证明:要证f( g(x))是可测函数,只要证对任意a, E[f g a]={x| f( g(x)) a}可测即可, 例:设f(x)是R上连续函数,g(x)是E上可测函数,则f( g(x))是可测函数。
例:设f(x)是R上连续函数,g(x)是E上可测函数,则f( g(x))是可测函数。
* * 第四章可测函数 yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的
“长度”问题:怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)? 例(1) 零集上的任何函数都是可测函数。注:称外测度为0的集合为零集;零集的子集,有限并,可数并仍为零集定义:设f(x)是可测集E上的实函数(可取), 若可测,则称f(x)是E上的可测函数
(2)简单函数是可测函数可测函数注:Dirichlet函数是简单函数 0 1 若( Ei 可测且两两不交),f(x)在每个Ei上取常值 ci,则称f(x)是E上的简单函数; 对比:设f(x)为(a,b)上有限实函数, ( ) ( ) ( ) f(x) 在处连续(对闭区间端点则用左或右连续) 设f(x)为E上有限实函数,称f(x) 在处连续证明:任取x∈E[f a], 则f(x) a,由连续性假设知, ( ) x0 f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 则G为开集,当然为可测集,且 a I a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集证明:不妨设f单调增,对任意a∈R 证明:利用(1)与(4),(2)与(3)互为余集,以及⒈定义:设f(x)是可测集E上的实函数,则 f(x)在E上可测( [ a-1/n a ( [ a a+1/n ⑴可测函数关于子集、并集的性质反之,若, f(x)限制在En上是可测函数, 则f(x)在E上也是可测函数。即:若f(x)是E上的可测函数, 可测, 则f(x)限制在E1上也是可测函数; 证明:令E 1= E[f≠g], E 2= E[f=g],则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测, 即: 设f(x)=g(x) , f(x)