文档介绍：数学高考综合能力题选讲1
集合与简易逻辑
题型预测
《考试说明》中,对于集合、充要条件已做出明确的要求. 高考中,对于这一部分的考查,主要集中在:(1)集合本身的性质和运算;(2)集合语言和集合思想的运用;(3)充分条件和必要条件的判定.
范例选讲
命题甲:或;命题乙:,则( )
;
;
C. 甲是乙的充要条件;
,也不是乙的必要条件.
讲解 为了进行判断,首先需要构造两个命题:甲=>乙;乙=>甲.
但是,这两个命题都是否定性的命题,正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性,可以转化为判断其逆否命题是否正确.
“甲=>乙”,即
“或”=>“”,
其逆否命题为:“”=>“且”
显然不正确. 同理,可判断命题“乙=>甲”为真命题.
故选择B.
点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系,但实质逻辑性很强,容易选错,解本题的关键:一是从反面入手,利用原命题与逆否命题的等价性,二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟.
已知集合,集合,其中均为实数.
(1)求;
(2)设为实数,,求.
讲解(1)集合A实际上是:使得恒成立的所有实数的集合. 故令,解得:.
集合B实际上是:使得方程有解的所有实数的集合. 故令,解得:或
所以,,,.
(2)设,则问题(2)可转化为:已知函数的值域(),求其定义域.
令,可解得:.
所以,=.
点评学****数学,需要全面的理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础,集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑,是学****掌握和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景,主要考查对数学符号语言的阅读、理解以及迁移转化的能力.
高考真题
(1985年全国高考)设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)│x2+y2≤144}
(1)(表示空集);(2)(a,b)∈C同时成立.
(2001年上海高考)对任意一个非零复数,定义集合
(1)设是方程的一个根,用列举法表示集合. 若在中任取两个数,求其和为零的概率.
(2)设复数,求证:
(1993年全国高考)已知关于x的实系数二次方程x 2 + ax +b =0有两个实数根a ,b. 证明:
(I ) 如果| a | < 2, | b | < 2, 那么2| a | < 4 + b且| b | < 4 ;
(II) 如果2| a | < 4 + b 且| b | < 4 , 那么| a | < 2 , | b | < 2 .
[答案与提示:. 2.,在其中任取两数,其和为零的概率为;证明略. . ]
+
数学高考综合能力题选讲2
函数的基本性质
题型预测
函数的性质主要包括:函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容,函数的性质也是高考考查的重中之重。高考对本部分内容的要求较高,不仅要求熟练掌握这些性质,还要求能够运用定义去证明和判断,以及能够灵活运用这些性质解题。
范例选讲
对于满足的一切实数,不等式恒成立,试求的取值范围。
讲解 不等式很容易让我们联想到二次函数:
基于这种认识,本题实质上就是:对于二次曲线系(),考虑使得恒成立的的取值范围。
对于每一个给定的,由于的二根分别为,记,,则的解集为:
=
所以,当在区间上变化时,使得恒成立的的取值范围就是所有
的交集。
因为,所以,的最大值为3,的最小值为。
所以,本题的答案应该为:。
上述解法实际上源于我们思维的一种定势,即****惯于把当作变量,而把其余的字母作为参数。而事实上,在上面的不等式中,与的地位是平等的。如果我们换一个角度看问题,即把作为自变量,而把作为参数,则可以得到下面的另一种较为简洁的解法:
考虑关于的函数:,
可以看到:是关于的一次函数或常数函数,要使得对于满足的一切实数,恒成立,由函数的单调性可知,需且只需:
解之得:或。
点评 (1)不等式与函数有着千丝万缕的联系,通过适当的转化,可以使得问题的表述更接近于我们熟悉的知识,从而得解。(2)注意利用函数的性质解题。(3)注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时,也要敢于打破思维定势,换一个角度看问题。
设是定义在[-1,1]上的偶函数,与的图象关于直线对称。且当时,
(1)求函数的表达式;
(2)在或的情况下,分别讨论函数的最大值,并指出为何值