文档介绍：机动目录上页下页返回结束
§ 微分方程的基本概念
§ 一阶微分方程
§ 微分方程在经济学中的应用
§ 二阶常系数线性微分方程
第九章微分方程
§ 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
二、微分方程的解
含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶.

一、微分方程的定义
例如,
实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
例1
著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时
发现,
则
即有方程
从而解得落体运动的规律:
这是微分方程应用的最早的一个例子.
例2
在没有人员
迁入或迁出的情况下,
于是有微分方程
方程表述的定律称为群体增长的马尔
萨斯律.
例3
在推广某项新技术时,
若设该项技术需要推广
则
新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成
正比,
即有微分方程
在很多领
域有广泛应用.
形如的方程通常称为逻辑斯谛方程,
例4
社会对该商品
则
即
有微分方程
未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程;
未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.
不能表示成形如形式的微分方程,统称为非线性方程.

的解.
二、微分方程的解
可以验证,
微分方程的解与隐式解都统称为微分方程的解.
其中包含两个任意常数,
例1中,考虑自由落体运动时,由积分法和二阶方程
可得