文档介绍：对线性回归,logistic回归和一般回归的认识
1 摘要
      本报告是在学****斯坦福大学机器学****课程前四节加上配套的讲义后的总结与认识。前四节主要讲述了回归问题,回归属于有监督学****中的一种方法。该方法的核心思想是从连续型统计数据中得到数学模型,然后将该数学模型用于预测或者分类。该方法处理的数据可以是多维的。
     讲义最初介绍了一个基本问题,然后引出了线性回归的解决方法,然后针对误差问题做了概率解释。之后介绍了logistic回归。最后上升到理论层次,提出了一般回归。
2 问题引入
          假设有一个房屋销售的数据如下:
面积(m^2)
销售价钱(万元)
123
250
150
320
87
160
102
220
…
…
     这个表类似于北京5环左右的房屋价钱,我们可以做出一个图,x轴是房屋的面积。y轴是房屋的售价,如下:
     
     如果来了一个新的面积,假设在销售价钱的记录中没有的,我们怎么办呢?
     我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据,然后如果有新的输入过来,我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合,可能是下面的样子:
     
     绿色的点就是我们想要预测的点。
     首先给出一些概念和常用的符号。
     房屋销售记录表:训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输入数据,一般称为x
     房屋销售价钱:输出数据,一般称为y
     拟合的函数(或者称为假设或者模型):一般写做 y = h(x)
     训练数据的条目数(#training set),:一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的输入数据的维度n (特征的个数,#features)
     这个例子的特征是两维的,结果是一维的。然而回归方法能够解决特征多维,结果是一维多离散值或一维连续值的问题。
3 学****过程
     下面是一个典型的机器学****的过程,首先给出一个输入数据,我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数,这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计,也被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。
     
4 线性回归
     线性回归假设特征和结果满足线性关系。其实线性关系的表达能力非常强大,每个特征对结果的影响强弱可以由前面的参数体现,而且每个特征变量可以首先映射到一个函数,然后再参与线性计算。这样就可以表达特征与结果之间的非线性关系。
     我们用X1,X2..Xn 去描述feature里面的分量,比如x1=房间的面积,x2=房间的朝向,等等,我们可以做出一个估计函数:
     
     θ在这儿称为参数,在这的意思是调整feature中每个分量的影响力,就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。为了如果我们令X0 = 1,就可以用向量的方式来表示了:
     
     我们程序也需要一个机制去评估我们θ是否比较好,所以说需要对我们做出的h函数进行评估,一般这个函数称为损失函数(loss function)或者错误函数(error function),描述h函数不好的程度,在下面,我们称这个函数为J函数
     在这儿我们可以认为错误函数如下:
     
     这个错误估计函数是去对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为错误估计函数,前面乘上的1/2是为了在求导的时候,这个系数就不见了。
     至于为何选择平方和作为错误估计函数,讲义后面从概率分布的角度讲解了该公式的来源。
     如何调整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法,其中有最小二乘法(min square),是一种完全是数学描述的方法,和梯度下降法。
5 梯度下降法
     在选定线性回归模型后,只需要确定参数θ,就可以将模型用来预测。然而θ需要在J(θ)最小的情况下才能确定。因此问题归结为求极小值问题,使用梯度下降法。梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值,这与初始点的选取有关。
     梯度下降法是按下面的流程进行的:
     1)首先对θ赋值,这个值可以是随机的,也可以让θ是一个全零的向量。
     2)改变θ的值,使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。
     梯度方向由J(θ)对θ的偏导数确定,由于求的是极小值,因此梯度方向是偏导数的反方向。结果为
          
     迭代更新的方式有两种,一种是批梯度下降,也就是对全部的训练数据求得误差后再对θ进行更新,另外一种是增量梯度下降,每扫描一步都要对θ进行更新。前一种方法能够不断收敛,后一