文档介绍：“将军饮马”模型
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马
傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后.
?
这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的
学者,,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得
其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,
应该怎样走才能使路程最短?
从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它.
起源
如图所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线取A关于河岸的
对称点A‘,连结A’B,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A
出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,走的路程就是最短的.
如果将军在河边的另外任一点C‘饮马,所走的路程就是AC’+C‘B,
但是,AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.
可见,在C点外任何一点C'饮马,所走的路程都要远一些.
这有几点需要说明的:
(1)由作法可知,河流l相当于线段AA中垂线,所以 AD=A‘D。
(2)由上一条知:将军走的路程就是AC+BC,就等于A’C+BC,
而两点确定一线,所以C点为最优。
解决
如图,有A、B两个村庄,他们想在河流l的边上建立一个水泵站,已知每米
的管道费用是100元,A到河流的距离AD是1km,B到河流的距离BE是3km,
DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少?
解:如图所作,C点为水泵站的位置。
应用1
解:∵在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分, ∴点B、D关于AC对称,连接ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段,∵AB=AD, ∠DAB=60°
∴
∵E为AB的中点
∴DE⊥AB, Rt △ABC中, ED=6sin60º=3
△ABC是等边三角形
如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,
E为AB的中点,F是AC上的一动点,则EF+BF的
最小值为多少?
应用2