文档介绍：习题1
1-1 与有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明.
解:(1)是位移的模,是位矢的模的增量,即,;
(2)是速度的模,即.
只是速度在径向上的分量.
∵有(式中叫做单位矢),则
式中就是速度径向上的分量,
∴不同如题1-1图所示.
题1-1图
(3)表示加速度的模,即,是加速度在切向上的分量.
∵有表轨道节线方向单位矢),所以
式中就是加速度的切向分量.
(的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为,在计算质点的速度和加速度时,有人先求出,然后根据及而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即
及.
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:,在平面直角坐标系中,有,
故它们的模即为
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作
其二,可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
x=3t+5,,
式中t以s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s时刻和t=2 s时刻的位置矢量,计算这1s内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4 s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量的表示式,计算t=4 s时质点的速度;(5)计算 t=0 s到t=4 s内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4 s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度和瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
解:(1)
(2)将,代入上式即有
(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵
(6)
这说明该点只有方向的加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h ,船在离岸S处,如题1-,试求船运动的速度和加速度的大小.
题1-4图
解: 设人到船之间绳的长度为,此时绳与水面成角,由图可知
将上式对时间求导,得
题1-4图
根据速度的定义,并注意到,是随减少的,
∴
即
或
将再对求导,即得船的加速度
1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为,a的单位为,=0处,速度为10 ,试求质点在任何坐标处的速度值.
解: ∵
分离变量:
两边积分得
由题知,时,,∴
∴
1-6 已知一质点作直线运动,其加速度a=4+,x=5 m,v=0,求该质点在t=10 s时的速度和位置.
解:∵
分离变量,得
积分,得
由题知,, ,∴
故
又因为
分离变量,
积分得
由题知, ,∴
故
所以时
1-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动,运动方程为,式中θ以rad计,t以s计,求:(1)t=2 s时,质点的切向加速度和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?
解:
(1)时,
(2)当加速度方向与半径成角时,有
即
亦即
则解得
于是角位移为
1-8 质点沿半径为R的圆周按的规律运动,式中s为质点离圆周上某点的弧长,,:(1)t时刻质点的加速度;(2)t为何值时,加速度在数值上等于b.
解:(1)
则
加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
即
∴当时,
1-9 以初速度抛出小球,抛出方向与水平面成α=60°:(1)球轨道最高点的曲率半径;(2)落地处的曲率半径.
(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解:设小球所作抛物线轨道如题1-9图所示.
题1-9图
(1)在最高点,
又∵
∴
(2)在落地点,
,
而
∴
1-10 m,自静止启动,其角加速度,求t=2 s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
解:当时,
则
1-11 一船以速率沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解:(1)大船看小艇,则有,依题意作速度矢量图如题1-11图(a)
题1-11图
由图可知
方向北偏西
(2)小船看大船,则有,依题意作出速度矢量图如题1-11图(b),同上法,得
方向南偏东
习题2
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