文档介绍：湖南大学本科课程《随机过程》第6章****题及参考答案
主讲教师:何松华教授
1. 给定实数和一个平稳随机过程,定义理想门限系统的特性为
试证:(1) ;(2)
证:(1) 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量,则
(2)根据相关函数定义,有
,在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程,其概率密度函数为
在检波器后联接一个理想低通滤波器,求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值;当时结果有何变化。
解:根据题意,为非零均值的中频窄带随机过程,可以表示为:
其中、为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量,都服从均值为0、方差为的正态分布,且在同一时刻互不相关,则检波器输出信号
通过理想低通滤波后,滤波器输出信号为
由于随机变量、为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量,则服从自由度为2的卡方分布,即
,,根据随机变量函数的概率密度关系,的一维概率密度分布函数为
当时,,。

(1)已知输入随机过程的一维概率密度,求输出随机过程的一维概率密度。(2)当输入随机过程为零均值平稳高斯过程、自相关函数为时,求输出过程的相关函数。
解:的概率分布函数为
显然,在处不连续,从0跳变到,其导数在该处将产生一个强度为的冲激,在处也不连续,从跳变到,其导数在该处将产生一个强度为的冲激,则有
(2)根据相关函数的定义以及多维随机变量函数的数学期望特性,有:
式中,,根据的定义以及联合概率密度函数的对称性得到

假定输入为零均值平稳高斯随机过程。(1)求的一维概率密度和均值;(2)用Price定理证明:。
解:(1) 显然,对任意时刻t,只有两种可能的取值1,-1,,则
(2) 令为零均值、单位方差高斯噪声,则,根据Price定理
上式中,令,并利用冲激函数的积分特性,得到
根据以及得到:。
,其自相关函数为,它的一维概率分布函数为,定义一个无记忆非线性系统,试用Price定理证明的相关函数为
证:根据Price定理
其中,,,取,得到
式中,、,;上式中的积分为一个均值为0、方差为、归一化相关函数为的平稳高斯随机过程的二维联合概率密度分布函数的全积分,积分值为1,于是有:
显然随机变量的取值范围为[-1/2,1/2],当在[-1/2,1/2]范围内变化时,其概率分布函数为
式中,为的反函数。因此,在任意时刻的概率密度分布为[-1/2,1/2]上的均匀分布,其均值为0,方差为1/12,代入或并利用或求得:,于是有:
,在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程,其方差为,相关函数为,求检波器输出过程的一维概率密度、均值及相关函数。
解:,存在两个反函数,,则在任意时刻的概率密度函数为
根据联合正态分布随机变量的联合矩函数特性
得到
,在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程,其方差为,相关函数为,(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值;(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。
解:(1) ,存在两个反函数,,则在任意时刻的概率密度函数为
(2)设为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程,则有,对应的函数为,其二阶导数在处产生一个强度为的冲激,其余处的二阶导数值为0,则根据Price定理得到:
根据分部积分性质,得到
显然,的均方值与的均方值相同,代入、以及、得到:,于是有:

在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程,其方差为,相关函数为,(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值;(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。
解:(1) 在任意时刻的概率分布函数为
(2)设为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程,则有,对应的函数为,其二阶导数在处产生一个强度为的冲激,其余处的二阶导数值为0,则根据Price定理得到:
根据分部积分性质,得到
代入、以及、
得到:、,于是有:
。输入为零均值、功率谱密度为的高斯白噪声,求输出随机过程的自相关函数和功率谱密度。
解:根据电路方程容易得到RC低通滤波器的传递函数为
式中,,则根据随机过程通过线性系统理论,低通滤波器输出过程的功率谱密度函数为
根据典型傅立叶变换对关系得到低通滤波器输出过程的自相关函数为
由于为零均值平稳高斯过程,则也为零均值平稳高斯过程,方差,则根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到:
根据典型傅立叶变换关系得到检波器输出过程的功率谱密度函数为
、方