文档介绍：级数判敛题型与题法专题讲座
智轩

级数考点不外乎两大方面(本讲为判敛法):
1、判敛;2. 展开与求和。
我们只要掌握正项级数的5大判敛方法,对于任意项级数或函数项级数加上绝对值后,也就转化为正项级数的5大判敛类型了。不过这时原来的正项级数的“收敛和发散”概念成为“绝对收敛和条件收敛或发散”的概念。
作为任意项级数的特例的交错级数还要掌握莱布尼茨判敛法,对于函数项级数的幂级数还要掌握阿贝尔定理,三角函数的付里叶级数还要掌握狄利克雷定理。
二、正项(不变号)级数敛散性的5大判据与常用技巧
达朗贝尔比值法
柯西根值法
比阶极限法核心思想,贯穿整个判敛题型。
①代数式
②极限式,其中:和都是正项级数。

应用技巧大收小收,小发大发,同阶同敛散。只有大收小发情形下,比较法才可判敛。
评注:
●判别正项级数收敛的一般思路:先看是否成立,如不成立,则发散,如收敛,则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法,如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1,则使用比较法或其极限形式。
●比阶法的极限形式是核心方法,必须熟谙应用技巧,否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数。
主要技巧有3:对原级数通项放缩、利用同阶无穷小及利用佩亚若余项泰勒展开。
●凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论,由柯西根值法必可以给出相同的结论;反之却不一定(参见例1)。

若为非负数递减连续函数,则基数与积分的两散性相同。

若时,成立,则正项级数收敛,否则发散。
三、级数敛散性判定的模型和基准
模型

常常用作基准收敛的级数主要有2个:
,
常常用作基准发散的级数有3个

四、级数敛散性判定过程中需要用到的基本结论

平均值不等式:
对数不等式:
三角不等式:
积分比较不等式:
如;
型不等式:为严格单调增加序列

的无穷大阶次由低到高排列,此结论相当重要,务必记住!

五、级数敛散性判定的部分题型和题法与技巧

【例1】讨论级数的收敛性。
解:根据达朗贝尔比值法,有

根据柯西根值法,有

可见,柯西根值法审敛精度高。
【例2】讨论级数的收敛性
解:因为
,故该级数收敛。
【例3】,试讨论级数的敛散性。
解:
题型二. 比阶极限法的题型
【例4】讨论级数的收敛性
解:,故该级数发散。
【例5】讨论级数的收敛性
解:,故该级数发散。
【例6】讨论级数的收敛性
解:
【例7】讨论级数的收敛性
解:
【例8】讨论级数的收敛性
解:根据对数不等式放缩通项
,故该级数收敛。
【例9】讨论级数的收敛性
解:
,故该级数发散。
【例10】讨论级数的收敛性
解: ,故该级数收敛。
【例11】讨论级数的收敛性
解: ,我们只要讨论。
,故该级数收敛。
【例12】讨论级数的收敛性
解: ,故该级数发散。
【例13】判别(1) 和(2) 的敛散性。
解:(1)
根据只有大收小发才可判敛的原则,无法判断的敛散性; 显然,要想办法让比较极限为零。
故我们另选参考级数
根据大收小收,小发大发,
(2)对选比较基准级数

故原级数收敛。
评注:如能利用等价无穷小等手段估计出级数一般项的阶次,选用的比较基准级数形式就很容易确定。
如级数,可直接选用基准级数就可知原级数收敛。
又如级数,也可选用基准级数就可知原级数收敛。
【例14】判别级数的敛散性
解方法一:试探比阶法

上述极限=,故原级数收敛。
方法二:泰勒展开法

题型三对数判敛法的题型
【例15】讨论级数的收敛性
解:
时该级数收敛。
【例16】讨论级数的收敛性
解:

于是,存在,当时,,故该级数收敛。
【例17】讨论级数的收敛性
解:

再利用柯西积分检验法
于是,存在,当时,,故该级数发散。