文档介绍：一、动态问题的动中不变问题
对于这类问题,我们需要认真审题,从题目已知条件从分析出,线段或者线段所在直线的夹角不变(长度或者角度),直线或者线段所在直线位置关系不变(平行、垂直、夹角),图形的相互关系不变(全等、相似)
【例1】长度不变
在直角坐标系中,⊙经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
(1)如图,过点A作⊙的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,求直线AC的解析式;
(2)若⊙经过点M(2,2),设的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围。
解答:第(1)问省略
(2)如图
【分析】从题目已知条件可知,有关长度不变的量只有OM的长,那么d+AB肯定是一个与OM有关的量
1、根据题目已知条件,利用特殊情形(⊙以OM为直径),求出d+AB的值
2、从1可知,过M点作MN⊥OM,交x轴于N点,连结BM、AM,设△OAB的内切圆为⊙O2,与三角形的三边切于P、Q、R三点,如图
【例2】相似+角度不变
已知:如图1,直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B,交y轴于点A,以A点为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于点E、F两点,交直线AB于C点,连结BE、CF,∠CBD的平分线交CE于点H.
(1)求证:BE=HE;
(2)若AH⊥CE,Q为上一点,连结DQ交y轴于T,连结BQ并延长交y轴于G,
求AT•AG的值;
(3)如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合),连结PD交y轴于点M,过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N,设⊙O1的半径为R,当k=时,给出下列两个结论:①MN的长度不变;②,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值.
解:(1)省略
(2)【分析】要求AT·AG的值,就是与题目已知条件中的某线段长有关,而题目的已知条件只告诉我们OA的长,进一步分析可知,我们可以得到OB和AB的长,从AT·AG这个表现形式来看,应该是利用相似来解答,把AT和AG放到某两个三角形里而且要与我们刚才分析的其中的线段联系起来,只有AB的长也就是圆的半径可以与AT、AG恰好构造成两个三角形
(3) 【分析】MN/R的值不变,从表现形式来看,有点像简单三角函数里的某个角的三角函数值,所以我们选择证明MN和某个半径(O1M)的夹角不变来证明,而从题目已知条件可知,∠OAB和∠OBA是不变的
过O1点作O1R⊥MN,连结BM、BN、O1M、AD
易证△BAM和△DAM全等,有∠ABM=∠ADM,∠BAM=∠DAM
∵∠DMO=∠PBN (圆内接四边形的一个外角等于内对角)
∠MO1R=∠MBN
∠MO1R=∠PBN-∠ABM
∴∠MO1R=∠DMO-∠ABM
∵∠DMO=∠DAM+∠ADM (三角形外角)
∠BAM=∠DAM
∴∠BAM=∠DMO-∠ADM
∵∠ABM=∠ADM
∴∠MO1R=∠BAM
∴MN/R的值不变
【例3】位置关系不变:平行
已知:如图11,PF是⊙O的切线,PE=PF,A是⊙O上一点,直线AE、AP分别交⊙O于B、D,直线DE交⊙O于C,连结BC.
(1)求证:PE∥BC;
(2)将PE绕点P顺时针旋转,使点E移到圆内,并在⊙,此时,PE与BC是否仍然平行?证明你的结论.
(1)证明省略
(2)【分析】如果PE∥BC,那么有∠BCE=∠PED(两直线平行,同位角相等),且∠BCE=∠PAE,因此我们只需要证明△PED∽△PAE即可。如图:
猜想:PE∥BC
证明:∵PF是⊙O的切线
∴PF2=OD·PA (切割线定理,可以连结DF、AF,利用相似来证明)
∵PE=PF
∴PE2=OD·PA
∵∠EPD=∠APE
∴△PED∽△PAE
∴∠PED=∠PAE
∵∠BCE=∠PAE
∴∠BCE=∠PED
∴PE∥BC
【例4】全等+位置关系不变:垂直
如图,△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形,B,D,C三点在一直线上.
(1)试问BE与AC有何关系?并证明你的结论。
(2)当△CDE绕点D沿顺时针方向旋转时,BE与AC的关系分别怎样?
第(1)问 BE=AC且BE⊥AC 证明过程略
(2)【分析】第1问是通过证明三角形全等而得出的结论,在旋转的过程中,让我们看看证明三角形全等的条件是否发生改变,比如线段的长度,角的大小以及他们之间的关系,观察可以发现线段的长度没有发生改变,角的大小发生了改变,可是这两个角之间的数量关系没有发生改变,还是相等的,那么我们还是可以利用第1问的思路来解答
猜想:BE=AC,BE⊥AC