复变函数 5.1.ppt

文档介绍：第五章留数
§1 孤立奇点
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函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f(z)的孤立奇点.
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将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.
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1. 可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时, f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数: c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....由于
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所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|<d内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而函数f(z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所以z0称为可去奇点.
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2. 极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+... (m1, c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点. 上式也可写成
其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...
在|z-z0|<d内是解析的函数, 且g(z0)0.
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反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为()的形式, 且g(z0)0时, 则z0是f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点, 由()式, 就有
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3. 本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.
中含有无穷多个z的负幂项.
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