文档介绍：什么是数学模型与数学建模
简单地说:数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说:数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
更确切地说:数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式,算法、表格、图示等。
大学生数学建模竞赛的由来
数模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动,以培养学生应用数学的能力,逐渐成为大学生的一项国际性著名赛事。
我国自1989年首次参加这一竞赛,1992年起开始开展这项竞赛,现已形成一项全国性的竞赛活动。
数学建模方法
一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2. 代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。
三、仿真和其他方法
1. 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。①离散系统仿真--有一组状态变量。②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统。
题型
赛题题型结构形式有三个基本组成部分:
一、实际问题背景介绍:涉及面宽--有社会,经济,管理,自然现象,工程技术,等现代科学中出现的新的现实问题等。
二、若干假设条件有如下几种情况: 1. 只有过程、规则等定性假设,无具体定量数据; 2. 给出若干实测或统计数据; 3. 给出若干参数或图形; 4. 参赛者可适当补充假设条件,或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
三、要求回答的问题往往有几个问题(一般不是唯一答案): 1. 比较确定性的答案(基本答案); 2. 更细致或更高层次的讨论结果(往往是讨论最优方案的提法和结果)。
A题血管的三维重建
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如,将样本染色后切成厚约1m m的切片,在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片, 可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象,运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线(称为中轴线)的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道,其中轴线为直线,由半径固定的球滚动包络形成。
2001年全国大学生数学建模竞赛题目
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。、、…、 ,格式均为BMP,宽、高均为512个象素(pixel)。为简化起见,假设:管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定;切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片,第1张切片为平面Z=0,第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为
(-256,-256,z),(-256,-255,z),…(-256,255,z),
(-255,-256,z),(-255,-255,z),…(-255,255,z),
……
( 255,-256,z),( 255,-255,z),…(255,255,z)。
试计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张,全部图象请从网上下载。
关于BMP图象格式可参考:
1. 《Visual C++数字图象处理》。何斌等编著,人民邮电出版社,2001年4月。
2. .uk/home/mxr/gfx/2d/
Z=1
Z=0
Z=99
Z=98
Z=49
Z=50