文档介绍：模块六数列
考纲解读最重要的是数列求和性质
高考大纲
考试内容
要求层次
A
B
C
数列的概念和表示法
数列的概念和表示法
P
等差数列
等差数列的概念
P
等差数列的通项公式与前n项和公式
P
等比数列
等比数列的概念
P
等比数列的通项公式与前n项和公式
P
分析解读
(1)以数列的前n项为背景,考查通项公式.
(2)以数列的递推公式为载体,考差数列各项的求法及数列的通项.
(3)由数列前n项和,求通项.
(4)理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
(5)体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.
(6)理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
(7)体会等比数列与指数函数的关系.
(8)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
(9)能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题.
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考点剖析
考点一数列的通项公式
数列的通项的求法:
1、公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
2、已知(即)求,用作差法:。
3、已知求,用作商法:。
4、若求用累加法:
。
5、已知求,用累乘法:。
6、已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,形如、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求。形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
考点二数列的前n项和
数列求和的常用方法:
1、公式法:①等差数列求和公式;
②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;
③常用公式:,,.
2、分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.
3、相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,
则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和
公式的推导方法).
4、错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).
5、裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,:
①;
②;
③,;
④;
⑤;
⑥.
6、通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。
考点三等差数列的运算
1、等差数列的判断方法:定义法或。
2、等差数列的通项:或。
3、等差数列的前和:,。
4、等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且。
考点四等差数列的性质
1、当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
2、若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差
,则为常数列。
3、当时,则有,特别地,当时,则有.
4、若、是等差数列,则、(、是非零常数)、、,…也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列.
5、在等差数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,,(这里即);。
6、若等差数列、的前和分别为、,且,则
.
7、“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
法一:由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);
法二:因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
8、如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究.
考点五等比数列的运算
1、等比数列的判断方法:定义法,其中或。
2、等比数列的通项:或。
3、等比数列的前和:当时,;当时,。
4、等比中项:若成等比数列,那么A叫做与的等比中项。
考点六等比数列的性质
1、当时,则有,特别地,当时,则有.
2、若是等比数列,则、、成等比数列;若成
等比数列,则、成等比数列; 若是等比数列,且公比,则数列
,…也是等比数列。当,且为偶数时,数列
,…是常数数列0,它不是等比数列.
3、若,则为递增数列;若, 则为递减数列;若,则为递减数列;若, 则为递增数列;若,则为摆动数列;若,则为常数列.
4、当时,,这里,但,这是等比数列前
项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列。
5、.
6、在等比数列中,当项数为偶数